第十一节导数的应用考纲传真1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)1函数的单调性在(a，b)内函数f(x)可导，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数2函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值常用结论1可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零2对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件3闭区间上连续函数的最值在端点处或极值点处取得基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f(x)0.()(2)函数的极大值不一定比极小值大()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(2,1)上，f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D当x2时，f(x)取到极小值C结合原函数与导函数的关系可知，当x(4,5)时，f(x)0，yf(x)在(4,5)上是增函数，故选C.3函数f(x)cos xx在(0，)上的单调性是()A先增后减 B先减后增C增函数 D减函数Df(x)sin x1，当x(0，)时，f(x)0，f(x)在(0，)上是减函数4已知a是函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4 B2C4 D2D由f(x)3x2120得x2，又当x2时，f(x)0，当2x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，x2是f(x)的极小值点，即a2.5函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_8y6x24x，令y0，得x0或x.f(1)4，f(0)0，f，f(2)8，最大值为8.第1课时导数与函数的单调性利用导数求函数的单调区间【例1】(1)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)(2)(2016北京高考)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.求a，b的值；求f(x)的单调区间(1)Byx2ln x，x(0，)，yx.由y0可解得0x1，yx2ln x的单调递减区间为(0,1，故选B.(2)解f(x)eaxxeaxb，由切线方程可得解得a2，be.f(x)xe2xex，f(x)(1x)e2xe.令g(x)(1x)e2x，则g(x)e2x(1x)e2xe2x(x2)令g(x)0得x2.当x2时，g(x)0，g(x)单调递减；当x2时，g(x)0，g(x)单调递增所以x2时，g(x)取得极小值1，也是最小值所以f(x)g(x)ee10.所以f(x)的增区间为(，)，无减区间规律方法1.掌握利用导数求函数单调区间的3个步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(或f(x)0)解出相应的x的取值范围，对应的区间为f(x)的单调递增(减)区间2理清有关函数单调区间的3个点(1)单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间要先求函数的定义域；(2)求可导函数f(x)的单调区间，可以直接转化为f(x)0与f(x)0这两个不等式的解集问题来处理；(3)若可导函数f(x)在指定区间D上单调递增(减)，则应将其转化为f(x)0(f(x)0)来处理 (1)(2019北京模拟)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是()A(0,1) B(1，)C(，1) D(1,1)(2)(2019威海模拟)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是_(1)A(2)(2，)(1)f(x)2x(x0)，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)0，f(x)为增函数(2)函数f(x)(x3)ex的导数为f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.f(x)(x2)ex0，解得x2.利用导数讨论函数的单调性【例2】设函数f(x)aln x，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性解(1)由题意知a0时，f(x)，x(0，)此时f(x).可得f(1)，又f(1)0，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为x2y10.(2)函数f(x)的定义域为(0，)f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2.由x10，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减；x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增；x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增规律方法研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.(1)讨论分以下四个方面,二次项系数讨论，根的有无讨论，根的大小讨论，根在不在定义域内讨论.(2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类.(3)讨论完必须写综述. 已知函数f(x)x22aln x(a2)x，当a0时，讨论函数f(x)的单调性解函数的定义域为(0，)，f(x)xa2.当a2，即a2时，f(x)0，f(x)在(0，)内单调递增当0a2，即2a0时，0xa或x2时，f(x)0；ax2时，f(x)0，f(x)在(0，a)，(2，)内单调递增，在(a,2)内单调递减当a2，即a2时，0x2或xa时，f(x)0；2xa时，f(x)0，f(x)在(0,2)，(a，)内单调递增，在(2，a)内单调递减综上所述，当a2时，f(x)在(0，)内单调递增；当2a0时，f(x)在(0，a)，(2，)内单调递增，在(a,2)内单调递减；当a2时，f(x)在(0,2)，(a，)内单调递增，在(2，a)内单调递减函数单调性的应用考法1比较大小或解不等式【例3】(1)设函数f(x)是定义在(0,2)上的函数f(x)的导函数，f(x)f(2x)，当0x时，若f(x)sin xf(x)cos x0，af，b0，cf，则()AabcBbcaCcba Dcab(2)(2019山师大附中模拟)已知f(x)是函数f(x)的导函数，f(1)e，xR,2f(x)f(x)0，则不等式f(x)e2x1的解集为()A(，1) B(1，)C(，e) D(e，)(1)A(2)B(1)由f(x)f(2x)，得函数f(x)的图象关于直线x对称，令g(x)f(x)cos x，则g(x)f(x)cos xf(x)sin x0，所以当0x时，g(x)在(0，)内递增，所以gggg，即abc，故选A.(2)设F(x)，则F(x).因为2f(x)f(x)0，所以F(x)0，即F(x)是单调递减函数，f(x)e2x1等价于1，即F(x)1.又因为f(1)e，所以F(1)1，则不等式f(x)e2x1的解集是(1，)，故选B.考法2求参数的取值范围【例4】已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax20有解，即a有解设G(x)，所以只要aG(x