课时作业25平面向量的概念及其线性运算1设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是(B)Aa与a的方向相反 Ba与2a的方向相同C|a|a| D|a|a解析：对于A，当0时，a与a的方向相同，当0时，a与a的方向相反；B正确；对于C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关系不确定；对于D，|a是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小2(2019合肥质检)已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若20，则向量等于(C)A. BC2 D2解析：因为，所以22()()20，所以2.3(2019济宁模拟)如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为(B)A1 B2C3 D4解析：O为BC的中点，()(mn)，M，O，N三点共线，1，mn2.4(2019河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，3，F为AE的中点，则(C)A. B.C D解析：().5(2019长春模拟)在ABC中，D为ABC所在平面内一点，且，则(B)A. B.C. D.解析：由得点D在平行于AB的中位线上，从而有SABDSABC，又SACDSABC，所以SBCDSABCSABC，所以.故选B.6(2019太原模拟)在ABC中，AB3，AC2，BAC60，点P是ABC内一点(含边界)，若，则|的取值范围为(D)A. B.C. D.解析：在AB上取一点D，使得，过D作DHAC，交BC于H.，且点P是ABC内一点(含边界)，点P在线段DH上当P在D点时，|取得最小值2；当P在H点时，|取得最大值，此时B，P，C三点共线，222，|.故|的取值范围为.故选D.7已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m3.解析：由已知条件得，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB的中点，即M为ABC的重心，()，即3，则m3.8(2019郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，3e12e2，ke1e2，3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为.解析：由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数，使得.又3e12e2，ke1e2，3e12ke2，所以3e12ke2(ke1e2)(3k)e1(2k1)e2，所以3e12e2(3k)e1(2k1)e2，又e1与e2不共线，所以解得k.9在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是.解析：由题意可求得AD1，CD，2，点E在线段CD上，(01)，又2，1，即，01，0.即的取值范围是.10(2019太原质检)设G为ABC的重心，且sinAsinBsinC0，则角B的大小为60.解析：G是ABC的重心，0，()，将其代入sinAsinBsinC0，得(sinBsinA)(sinCsinA)0.又，不共线，sinBsinA0，sinCsinA0.则sinBsinAsinC.根据正弦定理知，bac，ABC是等边三角形，则B60.11如图所示，在ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设a，b，试用a，b表示向量.解：由D，O，C三点共线，可设k1k1()k1k1ak1b(k1为实数)，同理，可设k2k2()k2k2ak2b(k2为实数)，又a(1k1)ak1b，所以由，得k2ak2b(1k1)ak1b，即(1k12k2)ab0.又a，b不共线，所以解得所以ab.所以a(ab)12(2019广东化州一模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，B(3,2)，C(1,1)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)内，设mn(m，nR)，则2mn的最大值为(B)A1 B1C2 D3解析：由已知得(1，1)，(1,2)，设(x，y)，mn，2mnxy.作出平面区域如图所示，令zxy，则yxz，由图象可知当直线yxz经过点B(3,2)时，截距最小，即z最大z的最大值为321，即2mn的最大值为1.故选B.13如图所示，在ABC中，ADDB，点F在线段CD上，设a，b，xayb，则的最小值为(D)A62 B6C64 D32解析：由题意知xayb2xy，因为C，F，D三点共线，所以2xy1，即y12x.由题图可知x0且x1.所以.令f(x)，则f(x)，令f(x)0，得x1或x1(舍)当0x1时，f(x)0，当x1且x1时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得极小值，亦为最小值，最小值为f(1)32.14(2019河北百校联盟联考)已知在ABC中，点D满足20，过点D的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N，.若0，0，则的最小值为.解析：连接AD.因为20，所以，().因为D，M，N三点共线，所以存在xR，使x(1x)，则x(1x)，所以x(1x)，所以x，(1x)，所以x，1x，所以1，所以()，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.15定义两个平面向量的一种运算ab|a|b|sina，b，则关于平面向量上述运算的以下结论中，abba；(ab)(a)b；若ab，则ab0；若ab且0，则(ab)c(ac)(bc)正确的序号是.解析：恒成立，(ab)|a|b|sina，b，(a)b|a|b|sina，b，当0时，(ab)(a)b不成立，ab，则sina，b0，故ab0恒成立，ab，且0，则ab(1)b，(ab)c|(1)|b|c|sinb，c，(ac)(bc)|b|c|sinb，c|b|c|sinb，c|1|b|c|sinb，c，故(ab)c(ac)(bc)恒成立8