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用放缩法证明不等式所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”,否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。例1. 设a,b为不相等的两正数,且a3b3a2b2,求证。证明:由题设得a2abb2ab,于是(ab)2a2abb2ab,又ab0,得ab1,又ab(ab)2,而(ab)2ababab(ab)2,即(ab)2ab,所以ab,故有1ab。例2. 已知a、b、c不全为零,求证:证明:因为,同理,。所以二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。例3. 已知a、b、c为三角形的三边,求证:。证明:由于a、b、c为正数,所以,所以,又a,b,c为三角形的边,故b+ca,则为真分数,则,同理,故.综合得。三. 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知nN*,求。证明:因为,则,证毕。例5. 已知且,求证:对所有正整数n都成立。证明:因为,所以,又,所以,综合知结论成立。四. 公式放缩利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解。例6. 已知函数,证明:对于且都有。证明:由题意知,又因为且,所以只须证,又因为所以。例7. 已知,求证:当时。证明:证毕。五. 换元放缩对于不等式的某个部分进行换元,可显露问题的本质,然后随机进行放缩,可达解题目的。例8. 已知,求证。证明:因为,所以可设,所以则,即。例9. 已知a,b,c为ABC的三条边,且有,当且时,求证:。 证明:由于,可设a=csina,b=ccosa(a为锐角),因为,则当时,所以。六. 单调函数放缩根据题目特征,通过构造特殊的单调函数,利用其单调性质进行放缩求解。例10. 已知a,bR,求证。证明:构造函数,首先判断其单调性,设,因为,所以,所以在上是增函数,取,显然满足,所以,即。证毕。 4 / 4
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