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初中数学规律探究题的解法指导广南县篆角乡初级中学 郭应龙新课标中明确要求:用代数式表示数量关系及所反映的规律,发展学生的抽象思维能力。根据一列数或一组图形的特例进行归纳,猜想,找出一般规律,进而列出通用的代数式,称之为规律探究。在历年的中考或学业水平考试中屡见不鲜,频繁考查,考生大都感到困难重重,无从下手,导致丢分。解决此类问题的关键是:“细心观察,大胆猜想,精心验证”。笔者认为:只要善于观察,细心研究,知难而进,就会走出“山穷水尽疑无路”的困惑,收获“柳暗花明又一村”的喜悦。一、数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式,然后猜想其中蕴含的规律,反映了由特殊到一般的数学方法,考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征,改写成要求的格式。数式规律探究是规律探究问题中的主要部分,解决此类问题注意以下三点:1.一般地,常用字母n表示正整数,从1开始。 2.在数据中,分清奇偶,记住常用表达式。 正整数n-1,n,n+1 奇数2n-3,2n-1,2n+1,2n+3 偶数2n-2,2n,2n+2 3.熟记常见的规律 1、4、9、16. n2 1、3、6、10 1、3、7、152n -1 1+2+3+4+n= 1+3+5+(2n-1)= n2 2+4+6+2n=n(n+1) 12+22+32.+n2=n(n+1)(2n+1) 13+23+33.+n3=n2(n+1) 数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法,解决此类问题常用的方法有以下两种:1.观察法例1.观察下列等式:1=1- 2=2- 3=3- 4=4-猜想第几个等式为 (用含n的式子表示)分析:将等式竖排:1=1- 观察相应位置上变化的数字与序列号2=2- 的对应关系(注意分清正整数的奇偶)3=3- 易观察出结果为:4=4- n=n-例2.探索规律:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,那么32009的个位数字是 。分析:这类问题,主要是通过观察末位数字,找出其循环节共几位,然后用指数除以循环节的位数,结果余几,就和第几个数的末位数字相同,易得出本题结果为:32.函数法例3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形,再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形,如此继续下去,结果如下表:所剪次数1234n正三角形个数471013an则an= (用含n的代数式表示)分析:对结果数据做求差处理(相邻两数求差,大数减小数)正三角形个数:4、7、10、13 第一次求差结果相等,用一次函数y=kx+b第一次求差 : 3 3 3 代入(1、4)(2、7)解之得:y=3x+1an=3n+1例4.有一组数:1、2、5、10、17、26请观察这组数的构成规律,用你发现的规律确定第8个数为 。分析:对这组数据做求差处理: 原数 1 2 5 10 17 26 第一次求差:1 3 5 7 9 第二次求差:2 2 2 2第二次求差结果相等,同二次函数y=ax2+bx+c 代入(1、1)(2、2)(3、5)解之得y= x2-2x+2=(x-1)2+1 当=8时,y=50尝试练习:1.观察下列等式:13=12+21;24=22+22;35=32+23请将你猜想到的规律用含自然数n(n1)的代数式表示出来: 。2.观察下列各式:2=+2;3=+3;4=+4;5=+5设n为正整数,用关于n的等式表示这个规律为 。3.观察下列各式:=2;=3;=4请你将猜想到的规律用含正整数n(n1)的代数式表示出来为 。4.已知:2+=22;3+=32;4+=42;5+=52,若10+=102符合前面式子的规律,则a+b= 。5. 已知下列等式:13=12;13+23=32;13+23+33=62;13+23+33+43=102由此规律可推 出第n等式: 。6、观察下列算式: ,请你在观察规律之后并用你得到的规律填空:.1、下面有8个算式,排成4行2列22, 223, 34, 45, 5, (1)同一行中两个算式的结果怎样?(2)算式2005和2005的结果相等吗?(3)请你试写出算式,试一试,再探索其规律,并用含自然数n的代数式表示这一规律。(5分)2、你能很快算出吗?(5分)为了解决这个问题,我们考察个位上的数为5的正整数的平方,任意一个个位数为5的正整数可写成10n5(n为正整数),即求的值,试分析,2,3这些简单情形,从中探索其规律。通过计算,探索规律:可写成;可写成;可写成;可写成;可写成_可写成_根据以上规律,试计算= 3(5分)已知; (1)猜想填空:(2)计算23+43+63+983+10031、观察等式:1342 2,13593 2 ,1357164 2 ,13579255 2 , 猜想:(1) 135799 ;(2) 1357(2n-1) _ . (结果用含n的式子表示,其中n =1,2,3,)。2、观察下面一列数,根据规律写出横线上的数,; ; ;第2003个数是 。二、图形规律探究由结构类似,多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻,并且还可以由一个通用的代数式来表示。这种探索图形结构成元素的规律的试题,解决思路有两种:一种是数图形,将图形转化为数字规律,再用函数法、观察法解决问题;另一种是通过图形的直观性,从图形中直接寻找规律,常用“拆图法”解决问题。拆图法例5如图,由若干火柴棒摆成的正方形,第图用了4根火柴,第图用了7根火柴棒,第图用了10根火柴棒,依次类推,第图用 根火柴棒,摆第n个图时,要用 根火柴棒。(1)(2)(3) 分析:本例 可拆为 即1+3=4(根)第拆为 即1+32=7(根);第图可拆为 即1+33=10(根)由此可知,第图为1+310=31(根),第n个图为:(3n+1)根。例6按如下规律摆放三角形:则第堆三角形的个数为 ;第(n)堆三角形的个数为 。 分析:本例中需要进行比较的因素较多,于是把图拆为横向和纵向两部分,就横向而言,把三角形个数抽出来,就是3,5,7这是奇数从小到大的排列,其表达式为:2n+1;就纵向而言,发现三角形个数依次增加一个:第堆有2个,第堆有3个,第堆有4个,所以第(n)堆的个数就为(n+1)个。所以第n堆三角形的总个数为:(n+1)+(2n+1)即(3n+2)个。尝试练习:1.如图7,图7,图7,图7,是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字,按照这种规律,第5个“广”字中的棋子个数是_,第个“广”字中的棋子个数是_2观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色三角形有 个 n=1n=2n=33图(3)是用火柴棍摆成的边长分别是1,2,3 根火柴棍时的正方形当边长为n根火柴棍时,设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为,则 (用n的代数式表示)(1)(2)(3)4用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖,按下图的方式铺地板,则第(3)个图形中有黑色瓷砖 _块,第个图形中需要黑色瓷砖_块(用含的代数式表示)5如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第个图形需要黑色棋子的个数是 通过对此专题的复习和指导,我想你会有所感悟,有所收获,有所进步.别忘记课后注意巩固训练,展示你的能力,体验成功的快乐!三、课外拓展:1.探索规律:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729那么32008的个位数字是 。2.观察下列等式:71=7,72=49,73=343,74=2041由此可判断7100的个位数字是 。3.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据,中得到巴尔末公式,从而打开了光谱奥妙的大门,按此规律第七个数据是 。4.已知a1=+=,a2=+=,a3=+=按此规律,则a99= 。5.已知=1-,=-,=-,则+= ;用相同思路探究:+= 。6如图5,每一幅图中有若干个大小不同的菱形,第1幅图中有1个,第2幅图中有3个,第3幅图中有5个,则第4幅图中有 个,第n幅图中共有 个第1幅第2幅第3幅第n幅图57如图,由等圆组成的一组图中,第1个图由1个圆组成,第2个图由7个圆组成,第3个图由19个圆组成,按照这样的规律排列下去,则第9个图形由_个圆组成8将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:第1个图形有6个小圆,第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小圆,第4个图形有24个小圆,依次规律,第6个图形有 个小圆第1个图形第2个图形第3个图形第4个
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