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一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域:一次函数的值域为R.二次函数,当时的值域为,当时的值域为.,反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正,余弦函数的值域为,正,余切函数的值域为R.二、求函数值域(最值)的常用方法1. 直接观察法适用类型:根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数 例1、求函数y=的值域 解: 显然函数的值域是: 例2、求函数y=2的值域。 解: 0 0 22故函数的值域是:-,2 2、配方法适用类型:二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如或类的函数的值域问题,均可用配方法求解.例3、求函数y=-2x+5,x-1,2的值域。 解:将函数配方得:y=(x-1)+4,x-1,2,由二次函数的性质可知: 当x=1时,y =4 当x=-1,时=8 故函数的值域是:4,8 例4、求函数的值域: 解:设,则原函数可化为:.又因为,所以,故,所以,的值域为.3、判别式法适用类型:分子.分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为的形式,再利用判别式加以判断。例5、求函数的值域解:恒成立,函数的定义域为R. 由 得。 当即时,; 当即时,时,方程恒有实根. 且.原函数的值域为.例6、 求函数y=x+的值域。 解:两边平方整理得:2-2(y+1)x+y=0(1) xR,=4(y+1)-8y0解得:1-y1+但此时的函数的定义域由x(2-x)0,得:0x2。由0,仅保证关于x的方程:2-2(y+1)x+y=0在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程(1)有实根,由0求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为,。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 0x2,y=x+0,=0,y=1+代入方程(1),解得:=0,2,即当=时,原函数的值域为:0,1+。注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。4、反函数法 适用类型:分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例7、求函数的值域。分析与解:由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。反解得 即知识回顾:反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为:。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。适用类型:一般用于三角函数型,即利用等。例8、求函数y=的值域。解:由原函数式可得:=0,0 解得:-1y1。故所求函数的值域为(-1,1).例9、求函数y=的值域。 解:由原函数式可得:ysinx-cosx=3y 可化为:sinx(x+)=3y 即 sinx(x+)= xR,sinx(x+)-1,1。即-11解得:-y 故函数的值域为-,6、函数单调性法适用类型:一般能用于求复合函数的值域或最值。(原理:同增异减)例10、求函数的值域。分析与解:由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成,故可令:配方得:由复合函数的单调性(同增异减)知:。例11、 求函数y= (2x10)的值域解:令y=,=,则 y ,在2,10上都是增函数。所以y= y +在2,10上是增函数。当x=2时,y =+=, 当x=10时,= +=33。故所求函数的值域为:,33。例12、求函数y=-的值域。解:原函数可化为: y=令y =,= ,显然y,在1,+)上为无上界的增函数,所以y= y +在1,+)上也为无上界的增函数。 所以当x=1时,y=y +有最小值,原函数有最大值=。显然y0,故原函数的值域为(0,。7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。适用类型:无理函数、三角函数(用三角代换)等。例13、求函数y=x+的值域。解:令x-1=t,(t0)则x=+1y=+t+1=+,又t0,由二次函数的性质可知当t=0时,y=1,当t0时,y+。 故函数的值域为1,+)。例14、求函数y=x+2+的值域 解:因1-0,即1 故可令x+1=cos,0,。y=cos+1+=sin+cos+1 =sin(+/4)+10,0+/45/4 -sin(+/4)1 0sin(+/4)+11+。 故所求函数的值域为0,1+。例15、求函数 y=的值域解:原函数可变形为:y=- 可令x=tg,则有=sin2,=cos2 y=-sin2 cos2=-sin4 当=k/2-/8时,=。 当=k/2+/8时,y=- 而此时tg有意义。 故所求函数的值域为-,。例16、求函数y=(sinx+1)(cosx+1),x-/12/2的值域。解:y=(sinx+1)(cosx+1)=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t,则sinxcosx=(-1) y=(-1)+t+1= 由t=sinx+cosx=sin(x+/4)且x-/12,/2 可得:t 当t=时,=+,当t=时,y=+ 故所求函数的值域为+,+。例17、求函数y=x+4+的值域 解:由5-x0,可得x 故可令x=cos,0, y=cos+4+sin=sin(+/4)+4 0, /4+/45/4 当=/4时,=4+,当=时,y=4-。故所求函数的值域为:4-,4+。8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.例18、求函数y=+的值域。 解:原函数可化简得:y=x-2+x+8 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。由上图可知:当点P在线段AB上时,y=x-2+x+8=AB=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,y=x-2+x+8AB=10 故所求函数的值域为:10,+)例19、求函数y=+ 的值域 解:原函数可变形为:y=+ 上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时, y=AB=, 故所求函数的值域为,+)。例20、求函数y=-的值域 解:将函数变形为:y=-上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。即:y=AP-BP由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P,则构成ABP,根据三角形两边之差小于第三边,有 AP-BPAB= 即:-y (2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有 AP-BP=AB= 。 综上所述,可知函数的值域为:(-,-。 注:由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B在x轴的同侧。 如:例17的A,B两点坐标分别为:(3,2),(-2,-1),在x轴的同侧;例18的A,B两点坐标分别为:(3,2),(2,-1),在x轴的同侧。例21、求函数的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点(2,3)到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线Bx和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得: 9 、不等式法适用类型:能利用几个重要不等式及推论来求得最值。(如:)其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例22、 求函y=(sinx+1/sinx)+(cosx+1/cosx)的值域解:原函数变形为: y=(+)+1/+1/=1+ +=3+ 3+2 =5当且仅当tgx=ctgx,即当x=k/4时(kz),等号成立。故原函数的值域为:5,+)。例23、求函数y=2sinxsin2x的值域解:y=2sinxsinxcosx=4cosx=16=8(2-2)8(+2- )=8(+2- )/3=当且当=2-2,即当=时,等号成立。由,可得:-y故原函数的值域为:-,)。例24、当时,求函数的最值,并指出取最值时的值。分析与解:因为可利用不等式即:所以当且仅当即时取”=”当时取得最小值12。例25、双曲线的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值是( )。A B 4 C 2
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