,4 幂级数,一、函数项级数的一般概念,二、幂级数及其收敛域,三、幂级数的运算性质,四、拓展与思考,五、小结,第六章 无穷级数,一、函数项级数的一般概念,1.定义:,2.收敛点、发散点，收敛域、发散域:,2.收敛点、发散点，收敛域、发散域:,注意,函数项级数在某点 x 处的收敛问题,实质上就是 常数项级数的收敛问题.,3.和函数:,例,收敛域为,和函数为,收敛域为,和函数为,1.定义:,2.收敛域:,二、幂级数及其收敛性,定理,证明,证毕.,3.收敛半径:,解,例1 求 幂级数的收敛域.,发散，,收敛，,故收敛域为：,解,例2 求 幂级数的收敛域.,故收敛域为：,级数收敛;,解,例3,级数发散;,发散;,故,原级数的收敛域为：,4.求幂级数 收敛域的过程:,性质一,三、幂级数的运算性质,性质二,(其中,柯西乘积,性质三,性质四,性质五,解,例4,两边积分得：,两边积分得：,解,例5,四、拓展与思考,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,解,例6,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,思考题,原级数发散.,收敛;,发散;,五、小结,2、幂级数的收敛半径，收敛区间，收敛域及其求法;,3、幂级数的运算:,代数运算和分析运算.,1、函数项级数,和函数,收敛域等概念;,4、会求简单幂级数的和函数.,5、会利用幂级数的和函数求简单常数项级数的和.,幂级数,函数项级数 的一般概念,幂级数的 运算性质,性质1,定义,本节知识结构,性质2,性质3 （幂级数的连续性）,幂级数及其 收敛域,定理 （求幂级数收敛半径）,性质4 （幂级数的逐项积分性）,性质5 （幂级数的逐项求导性）,