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1 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 2 (一一)期望期望与方差与方差 1.1. 期望定义期望定义 离散型(求和)离散型(求和) 一维:一维: 1 ii i E Xx p 二维二维: 11 (, )(,) ijij ij E ZE g X Yg x yp 3 连续型(积分)连续型(积分) 一维一维: ( )E Xx f x dx 二维二维: (, )( , ) ( , )E ZE g X Yg x y f x y dxdy 4 2.2.方差定义方差定义 2 2 D XE XE X 5 3 3. .期望期望与方差与方差的性质的性质 期望的性质期望的性质 (1) (1) ( )E aa ; (2) (2) (E aX)aE X ; (3) (3) ()E XYE XE Y; (4(4) ) E aXbaEXb (5) (5) ,X Y相互独立相互独立 ()E XYE XE Y ; ; 6 方差方差的性质的性质 1 1 0D a 2 2 2 ()D aXa D X 3 3 ()D XaD X 4 4 2cov,D XYD XD YX Y 5 5 若若,X Y相互独立,相互独立, D XYD XD Y 6 6 22 E XEXD X 7 4.4.常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差 1.1.01 分布分布 E Xp (1)D Xpp 2.2.二项分布二项分布: ,XB n p E Xnp (1)D Xnpp. . 3.3.泊松分布泊松分布: : ( )XP ()E X D X 8 4.4.几何分布几何分布: : XG p 1 E X p 2 (1)p D X p 5.5.均匀分布均匀分布: : ,XU a b 2 ab E X 2 12 ba D X 9 6.6.指指数分布数分布: : XE 1 E X 2 1 D X 7.7.正态分布正态分布 2 ( ,)XN E X 2 D X 10 ( (三三) )协方差协方差 1.1.定义定义: : (, )Cov X YEXE XYE Y 2.2.计算:计算: (, )Cov X YE XYE X E Y (, )Cov X YDXDY 11 3.3.性质性质 (1)(1)(, )( ,)Cov X YCov Y X (2)(2) 22 (,)Cov X XEXE XDX (3)(3)(,)(, )Cov aX bYabCov X Y (4)(4)(, )0Cov X a (5(5) ) 1212 (,)Cov aXbX cYdY 11122122 (,)(,)(,)(,)acCov X YadCov X YbcCov X YbdCov X Y 12 (7)(7)若若X和和Y相互独立,则相互独立,则,0Cov X Y (). . 13 ( (四四) )相关系数相关系数 1.1.定义定义: : (,) XY Cov X Y D XD Y 2.2.性质性质: : (a)(a)1 XY (b)(b)1 XY 存在存在, a b,使,使 1P YaXb, 当当0a 时,时,1 XY ;0a 时,时,1 XY . . 14 (c)(c)0 XY 称随机变量称随机变量,X Y不相关不相关. . ,X Y相互独立,则相互独立,则,X Y必不相关;必不相关; 若若,X Y不相关,则不相关,则,X Y不一定不一定独立独立( (二维正态二维正态 分布除外分布除外) ) 若若,X Y相关,则相关,则,X Y必不独立;必不独立; 15 ( (五五) )独立性与不相关问题独立性与不相关问题 16 ( (六六) )随机变量的矩随机变量的矩 1.1.k阶原点矩:阶原点矩: k E X 2.2.k阶阶中心矩:中心矩: k EXE X 17 题型一题型一 期望与方差的计算期望与方差的计算 【例【例 4.4.2222】设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为 1 ( )0.3 ( )0.7 () 2 x F xx ,其中,其中( )x 为为 标准正态的分布函数,则标准正态的分布函数,则EX ( ) (A A)0 0 (B B)0.3 (C C)0.7 (D D)1 1 18 【例【例】设两个随机变量设两个随机变量,X Y相互独立,且都相互独立,且都 服 从 均 值 为服 从 均 值 为 0 0, , 方 差 为方 差 为 1 2 的 正 态 分 布的 正 态 分 布 , , 设设 ZXY (1 1)求求Z Z的概率密度的概率密度 Z fz (2)(2) 求求,EZ DZ 19 【例】随机变量【例】随机变量(, )X Y的联合概率密度为的联合概率密度为 ,fx y, ,已知数学期望已知数学期望 E XY存在存在 (1)(1)若随机变量若随机变量,X Y相互独立,且数学期望相互独立,且数学期望 ,EX EY都存在,证明都存在,证明 E XYE X E Y (2)(2) 若若 2 2,0,0 , 0, xy exy fx y 其其它它 , 求 数, 求 数 学期望学期望 E XYY 20 【 例 】【 例 】 设 二 维 随 机 变 量设 二 维 随 机 变 量(, )X Y在 区 域在 区 域 ,01,|Dx yxyx上服从均匀分布,上服从均匀分布, 求随机变量求随机变量21ZX的方差的方差()D Z. . 21 【 例【 例4.144.14 】 设设X的的 分 布 律 为分 布 律 为 1 2 ,0,1,2 3 k k P Xkk ,求,求期望与方期望与方 差差 ,E XD X. . 22 【例】【例】设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为 1 1 的指数分的指数分 布,则布,则 22 _ X E X e 23 【例】【例】 设随机变量设随机变量 0,1XN服从参数为服从参数为 1 1 的指数分布,则的指数分布,则 2 _ X E Xe 24 【例】设随机变量【例】设随机变量 XP , 2YP 且且 2 6E X , ,则则 2 _E Y 25 题型二题型二 协方差与相关系数协方差与相关系数 【例【例】随机变量随机变量 12 1 n XXXn , ,独立同分独立同分 布,布,方差为方差为 2 0 , , 1 1 n i i YX n 则则( )( ) 26 (A(A) ) 2 1, Cov X Y n (B)(B) 2 1, Cov X Y (C)(C) 2 1 2n D XY n (D)(D) 2 1 1n D XY n 27 【 例 】 设 随 机 变 量【 例 】 设 随 机 变 量 ,X Y的 概 率 密 度 为的 概 率 密 度 为 1,01 , 0, yxx fx y 其其它它 ,求,求 ,EX EY Cov X Y 28 【例例】随机变量随机变量 ,X Y分别服从正态分布,分别服从正态分布, 且且 2 1,3X, 2 0,4Y,且相关系数,且相关系数0.5 XY , 令令 32 XY Z (1 1)求求 ,E ZD Z (2 2)求求,X Z的相关系数,别说明是否独立的相关系数,别说明是否独立 (3 3)求求Z的分布的分布 (4 4)随机变量)随机变量2XY 与与XY 的相关系数的相关系数 29 【例【例 4.124.12】设随机变量】设随机变量 0,1 ,1,4XNYN, 且相关系数且相关系数1 XY ,则(,则( ) (A A) 211P YX (B B) 211P YX (C C) 211P YX (D D) 211P YX 30 【例】将一枚硬币重复掷【例】将一枚硬币重复掷n次,以次,以X和和Y分别分别 表示正面向上和反面向上的次数,则表示正面向上和反面向上的次数,则X和和Y 的相关系数等于的相关系数等于( ( ) ) 1A 0B 1 2 C 1D 31 【例】设将一颗骰子重复抛掷【例】设将一颗骰子重复抛掷n次,随机变次,随机变 量量X表示点数小于表示点数小于 3 3 的次数,的次数,Y表示点数不表示点数不 小于小于 3 3 的次数的次数 (1 1),X Y是否独立,请说明理由是否独立,请说明理由 (2 2)说明)说明XY 与与XY 不相关不相关 (3 3)求)求3XY 与与XY 的相关系数的相关系数 32 【例【例4.314.31】 33 题型三题型三
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