麦克斯韦尔模型与开尔文模型综述 1弹性力学概念和流变学的两个基本模型在流变学里,应变不与应力成简单的正比关系,这两者不是线性关系。在这里,表述应变、应力和时间三者关系的公式不再称为应力-应变关系,而称为“本构关系”。马克斯威尔模型由一个弹性元件和一个流性元件串联组成,描述具有弹性又具有流性的材料。 岩石在瞬间受力条件下具有弹性,在持久力作用下具有流性,恰好可用马克斯威尔模型描述。马克斯威尔粘弹性模型中的粘性元件采用了牛顿流体模型,即线性粘性流体。牛顿流体是指受应力时产生的流动速率与应力大小成正比的材料。表述为= （1）式(1)中为应力,为应变(流动)速率,为比例常数,流变学中称为粘性系数(模量)。式( 1)可与弹性力学中一维虎克定律的形式进行比较=E （2）式(2)中为应变,E为比例常数,又称杨氏模量。式( 2)表示材料的应变与应力成正比,与式( 1)的不同就在于应变速率上,其中包含着时间因素。2开尔文( Kelvin)模型简介比马克斯威尔模型( 1868)晚几年,提出了开尔文模型( Kelvin ,1875)。与马克斯威尔模型不同,将弹性元件a和流性元件b不是串联,而是并联,就组成了开尔文模型,如图1所示。元件a为弹簧,具有完全弹性,其应力应变关系符合虎克定律式( 2) ,在 此可写为a=Ea （图1 开尔文模型）a为弹性元件弹簧, b为流性元件有阻尼的唧筒, 两者并联,为应力元件b符合牛顿流体条件,参照式(1)可写为 b= b 由于是并联,所以两元件上应力之和应等于总应力 ,有= a +b=E a+ b =E a+ b (3)式(3)为开尔文模型的本构关系,为深入了解开尔文模型的性质,给出一些特定情况来分析。（1）第一种情况。我们给这个模型两端突然一个应力,例如拉应力,量值为 0并保持不变。模型的并联关系要求并联两元件的变形量要同步,弹性元件虽然有能力响应应力 0的作用,力图达到对应的应变值,但碍于流性元件的滞后性,必须跟随流性元件的缓慢速度使变形逐渐跟上来。这个过程的应力在初始时几乎全由流性元件承担,弹性元件只承担很小的应力,而随着应力保持的时间延续才逐渐增大,这样应力也逐渐由流性元件身上转移到弹性元件身上,最后完全由弹性元件承担。在这个应力条件下,模型的最终应变量是弹性元件对应这个应力的应变值,只是比单一弹性元件达到这个应变值的时间要滞后,这种现象称为滞弹性。岩石和很多材料一样,都具有滞弹性。关于岩石由开尔文模型描述的性质我们稍后解释,现在继续式( 3)的推导过程。已经设定应力保持不变,故式( 3)中= 0=c(常数)，所以式( 3)可改写为由于和都是常数,还由于并联的两个元件同步 变形,所以 a= b ,而且也等于模型的总应变。这样上式可以改写成只有为变量的形式这是一个变量为的一元一次常微分方程,它的解是 (4) 式( 4)中 t 为持续时间，马克斯威尔模型类似的方程式E和都是代表材料性质的两个常数,岩石的E值远小于值,但随着时间延续,括号中的第二项可以有Et=1的情况,或者t= E 。在马克斯威尔模型里,称这时的t为马克斯威 尔松弛时间 ( Maxwell relax time)。在式( 4)中,我们也可以称当t= E 时为开尔文延迟时间( Kelvin retard time) , 对于岩石材料,这个时间约为1011 1013 s。随着时间的延续,式( 4)的负指数接近负无穷大,括号内的第二项(负指数项)就接近零,这时式( 4)的形式接近于这就是弹性元件在应力 0作用下的应变值。我们可以看出开尔文模型是一个滞弹性体,与马克斯威尔模型不同的是,它的应变不会随应力延续而无限地增加,用它对岩石作描述可以更真实地反映岩石的应变量不会无限地随时间延续而增加,应变达到一定值时会停止,过量的应力也会使岩石破裂。（2第二种情况。当时间延续到t1时,应变为1,如果此时将应力突然减为零,弹性元件虽然有立即释放全部应力的趋势,碍于流性元件不能立即恢复其已有的变形,应力只能逐渐从弹性元件上释放, 变形也只能逐渐恢复。这时,由于外力已完全从模型上撤除,整个模型的复原完全是内部的功能交换过程,也称内能损耗。如果是振动变形,则是振波的阻尼衰减过程。联系到地震过程,当岩石突然破裂时,破裂面上已经不承受外力,相当于应力在该处已撤除,但是破裂面两侧的位移并没立即停止,岩石内的振动也要继续一段时间,这就是地震后的余震过 程。将岩石的具体参数( E、 )值代入式( 4) ,就成为了解余震所持续时间的参考依据。式( 4)中 0/E 是弹性元件对应 0值的应变0,这样式( 4)可改写为 （5）式(5)表示模型的当前应变与可达到的弹性应变之比随应力保持时间的延续而逐渐接近1 。而当突然撤去外力时,应变并不立即回零,而是逐渐逼近零。图2示出这两个过程。图2中的曲线上升段对应 图2开尔文模型应变随时间的变化突然加力时应变的增加过程,如果不撤除应力,应变会逐渐逼近水平虚线,即弹性可达的值。如果在时间t1时撤除应力,应变并不沿垂直的虚线降为零, 而是沿坡型虚线下降,逐渐降为零。这就是开尔文 模型描述的应变对应力变化的滞弹性现象,开尔文模型可以较逼真地描述岩石的弹性滞后现象,滞弹性也是流变性质的一种特征。3流变力学模型的地质应用流变学是力学的一个分支。如果从第一个流变 模型马克斯威尔模型提出( 1868)算起,流变学的形成已有百余年的历史了。百余年来流变学对大变形力学,对变形具有时间依赖性质的解释有重要贡献。自然界最广泛的大变形,最明显的对时间的依赖莫过于地质过程引起的岩石变形产生的构造形迹。马克斯威尔模型描述岩石在低应力下的高应变性质,但它在理论上没有设定多低的应力就不能引起流变,也没限定岩石是否有所能达到应变的最高限,好像岩石可以在无穷小应力条件下, 只要时间充足就可以产生无穷大的应变一样。所以马克斯威尔模型描述的材料基本上是流体性质的材料。开尔文模型则不同,只要应力保持不变,应变虽 然随时间在缓慢增加,但增量越来越小,并且不会超过一个定值,即对应每个应力都有一个应变极限。这个值对应弹性元件在该应力条件下的最大弹性应变,它表示所描述的材料是有强度的,不是永远流动的,岩石的弹性应变值一般不是很大,所以开尔文模型更适用于变形不大的岩石变形现象,例如与地震相关的许多现象。所以开尔文模型描述的材料基本上是固体性质的材料,但两个模型的共同点都显出变形对时间的依赖。岩石的流变性质有时与流体性质相似,自然界中发现许多大变形而不破裂的流动构造,用马克斯威尔模型描述时效果非常好。也有许多变形值有限度的流变构造,用开尔文模型描述时效果也非常好。针对岩石的流变构造选用哪种模型合适要依据对构造形迹的实际测量和推测。图3 较复杂的模型a和b马克斯威尔模型和开尔文模型是流变学的两个最基本模型。流变学的发展是在这两个基本模型上再串联或者并联流变学元件,以期增加其弹性和流性性质。在掌握马克斯威尔模型和开尔文模型的基础上, 不难推导出复杂模型的本构关系。但是复杂模型虽然可以描述材料的复杂性质,却带来很多计算上的困难,有时还不如用简单模型描述更合适。所以模型的选择往往在精确度和运算简便之间权衡,只要精度大致够了,模型选择得越简单越好。图3是比上 两个基本模型稍复杂的模型, 它们只增加一个弹性元件,分别并联(图3a)和串联(图 3b)于马克斯威尔模型和开尔文模型上。在自然科学探索中常常利用模型来定量地描述较复杂的过程。地质学也是常常通过模型阐述某种演化过程的。例如板块理论中就有海底扩张模型 (传送带模型)、转换断层模型、板块俯冲模型等,后来又建立了地幔柱模型。流变学模型则是从力学领域发展起来的,在描述岩石性质时,地质学家从力学领域学习和借鉴这些模型,得以准确地描述岩石的性质和解释地质过程。岩矿和地球化学借用了许多化学原理,古生物学借用了许多生物学原理,构造地质学理应多借用物理力学原理。 参考文献1.刘瑞珣, 张秉良, & 张臣. (2008). 描述岩石粘弹性固体性质的开尔文模型.地学前缘,15(3), 221-225.2. 刘瑞珣. (2007). 流变学基础模型的地质应用及启示.地学前缘,14(4), 61-65.3. 袁静, 龚晓南, & 益德清. (2001). 岩土流变模型的比较研究.岩石力学与工程学报,20(6), 772-779.4. 袁建新, & 孔令伟. (1994). 土的广义流变模型与固结问题.海峡两岸土力学及基础工程、地工技术学术研讨会.