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www.ks5u.com2018学年第二学期“温州十五校联合体”期中考试联考高二年级数学学科 试题考生须知:1本卷共4 页满分150分,考试时间120分钟;2答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效;4考试结束后,只需上交答题纸。一、选择题 (本题共10小题,每小题4分,共40分)1.已知集合,则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合,然后求两个集合的交集得出正确结论.【详解】由,解得,故,故选D.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.2.已知复数满足,则复数在复平面内对应的点为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数除法运算,化简为的形式,由此求得对应的点的坐标.【详解】依题意,对应的点为,故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算,考查复数对应点的坐标,属于基础题.3.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性,对选项逐一分析,由此得出正确选项.【详解】对于A选项,故函数为非奇非偶函数.对于B选项,函数为奇函数,当时,为递增函数,根据奇函数图像关于原点对称可知函数在时也是增函数,且,故函数在上为递增函数,符合题意,B选项正确.对于C选项,函数的定义域为,函数在这个区间上没有单调性,C选项不符合题意.对于D选项,由于函数定义域是,且,所以函数为偶函数,不符合题意.综上所述,本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性,考查利用定义判断函数的奇偶性,属于基础题.4.若,则下列结论正确的是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先用作为分段点,找到小于和大于的数.然后利用次方的方法比较大小.【详解】易得,而,故,所以本小题选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小,考查指数函数和对数函数的性质,属于基础题.5.已知,为的导函数,则的图像是 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得函数的导函数,再对导函数求导,然后利用特殊点对选项进行排除,由此得出正确选项.【详解】依题意,令,则.由于,故排除C选项.由于,故在处导数大于零,故排除B,D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查导数的运算,考查函数图像的识别,属于基础题.6.在的展开式中,含项的系数是 ( )A. 165B. 164C. 120D. 119【答案】B【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式,求得表达式中每一项中展开式的项的系数,然后相加求得结果.【详解】依题意,项的系数为 .故选B.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式,考查二项式的性质,属于中档题.7.已知是函数,的图象上的两个动点,则当达到最小时,的值为 ( )A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】求得图像上切线斜率为的切点的横坐标,即是的值.【详解】依题意可知,当图像上的切线和平行时,取得最小值,令,解得,故,所以选C.【点睛】本小题考查函数导数,考查切线斜率与导数的对应关系,属于基础题.8.现有甲,乙,丙,丁,戊5位同学站成一列,若甲不在右端,且甲与乙不相邻的不同站法共有( )A. 60种B. 36种C. 48种D. 54种【答案】D【解析】【分析】先排甲,然后排乙,最后排丙、丁、戊,由此计算出不同的站法数.【详解】甲排号位,乙可以排号位,故方法数有种.甲排号位,乙可以排号位,故方法数有种.甲排号位,乙可以排号位,故方法数有种.甲排号位,乙可以排号位,故方法数有种.故总的方法数有种.故选D.甲123451甲234512甲345123甲45【点睛】本小题主要考查有限制条件的排列组合问题,考查分类讨论的数学思想方法,属于基础题.9.下列命题正确的是 ( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】C【解析】【分析】构造函数,利用导数求得函数单调性,由此判断出正确的选项.【详解】根据对数函数的定义域可知.构造函数,故在上是增函数.故当,即时,根据单调性可知.故选C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性,考查构造函数法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.10.已知函数 ,若方程有且只有三个不同的实数根,则的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别令和,画出和的图像,根据两个图像交点的个数,对选项进行排除,由此得出正确选项.【详解】当时,画出函数和的图像如下图所示,由图可知,有且仅有三个不同的实数根,符合题意,由此排除A,D两个选项.当时,注意到,即,此时判别式,有两个根.由此画出函数和的图像如下图所示,由图可知,有且仅有三个不同的实数根,符合题意,由此排除C选项.故本小题选B.【点睛】本小题主要考查含有绝对值的函数的图像与性质,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.二、填空题 (本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分)11.已知函数,且,则=_,实数_.【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】利用分段函数解析式,求得的值.利用求得的值.【详解】依题意.,解得.【点睛】本小题主要考查分段函数求值,考查复合函数求值,属于基础题.12.在探究“杨辉三角”中的一些秘密时,小明同学发现了一组有趣的数:; ; ,请根据上面数字的排列规律,写出下一组的规律并计算其结果:_.【答案】【解析】【分析】观察等式左边表达式的上标和下标,找到规律;观察等式右边表达式可知,右边是斐波那契数列中的某些项,由此写出下一组的规律并计算其结果.【详解】观察等式左边表达式可知,下一组有六个式子相加,上标从逐一递减至,下标从逐一递增至.斐波那契数列为,故等式右边为,由此可知下一组为.【点睛】本小题主要考查合情推理,考查分析与思考问题的能力,属于基础题.13.若,则=_, = _.【答案】 (1). 128 (2). 21【解析】【分析】令,求得的值.利用展开式的通项公式,求得的值.【详解】令,得.展开式的通项公式为,当时,为,即.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式,考查赋值法求解二项式系数有关问题,属于基础题.14.已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球,现从中随机取出一球,再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球). 记换好后袋中的白球个数为,则的数学期望=_,方差=_ .【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求得的可能取值,然后求得分布列,由此计算出期望和方差.【详解】依题意可知的可能取值为,且.故的分布列为XP所以,.【点睛】本小题主要考查分布列的计算,考查数学期望和方差的计算,属于基础题.15.已知定义域为的函数的导函数的图象如图所示,且 ,则函数的增区间为_,若 ,则不等式的解集为_. 【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据导函数图像的正负判断出函数的增区间.化简,对进行分类讨论,由此求得不等式的解集.【详解】根据导函数图像可知,当时,函数单调递增,故函数的增区间为.不等式等价于.由于,且函数在上递减,在上递增,所以:当时,则;当时,;当时,;当时,.故不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查利用导函数的图像判断原函数的单调性,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.16.已知函数在内不单调,则实数的取值范围是_.【答案】或【解析】【分析】求得函数的导函数,对分成两类,根据函数在内不单调列不等式,解不等式求得的取值范围.【详解】函数的定义域为,当时,单调递增,不符合题意.当时,构造函数,函数的对称轴为,要使在内不单调,则需,即,解得或.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.17.已知函数,若且,则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】画出的图像,根据图像判断出,由此求得的表达式,利用二次函数值域的求法求得的取值范围.【详解】由且得.画出的图像,如下图所示,由图可知,故 ,故的取值范围是.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.三、解答题 ( 本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.已知函数.()若为偶函数,求在上的值域;()若在区间上是减函数,求在上的最大值.【答案】();()【解析】【分析】(I)根据函数为偶函数,利用求得的值.根据的取值范围求得函数值的取值范围.(II)根据二次函数的对称轴判断出函数在区间上的单调性,比较的函数值,由此求得在上的最大值.【详解】()因为函数为偶函数,故,得.,因为,所以,故值域为:. ()若在区间上是减函数,则函数对称轴因为,所以时,函数递减,时,函数递增,故当时, , 由于 ,故在上的最大值为.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性,考查二次函数的值域,考查二次函数的单调区间,属于中档题.19.已知函数,设()求函数解析式;()求不等式的解集.【答案】();()【解析】【分析】(I)解不等式和,求得的取值范围,由此求得的表达式.(II)对分成“”和“或”两种情况,去绝对值,求得不等式的解集.【详解】()当时, ,解得.当时,.解得或.所以 ()(1)当时,由,得,所以解得或 ,于是 (2)当或时由,得若时,不等式化为, 无解. 若时,不等式化为,解得 由(1),(2)得. 故不等式的解集为 .【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法,考查含有绝对值的不等式的解法,属于中档题.20.已知正项数列满足,前项和满足,()求,值()猜测数列的通项公式,并用数学归纳法证明.【答案】() ;()见解析【解析】【分析】(I)先求得的值,然后求得的值,进而求得的值.(II)先猜想出数列的通项公式.然后证明当,的通项公式符合,假设当时结论成立,证得当时结论成立,由此得到数列的通项公式.【详解】()当时, 解得当时,当时, .()猜想得 下面用数学归纳法证明:时,满足. 假设时,结论成立,即,则时 , 将代入化简得 , 故时 结论
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