简单曲线的极坐标方程,1、圆的极坐标方程,3、极坐标与直角坐标的互化公式,复 习,1、极坐标系的四要素,2、点与其极坐标一一对应的条件,极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。,1、极坐标 （，2k+） 与（，）表示同一个点,2、点 M（，） 关于极点的对称点为（，+）,3、点 M（，） 关于极轴的对称点的为（，-）,4、极坐标系内两点 的距离公式,复 习,曲线的极坐标方程,一、定义：如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系 ()曲线上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0 ； ()方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线上。 则曲线的方程是f(,)=0 。,探 究,如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？,x,C(a,0),O,。,x,（a,0）,o,。,圆经过极点O,设圆和极轴的另 一个交点是A，那么|OA|=2a, 设 为圆上除点O外，A 以外的任意一点，则OM AM, 在 Rt 中, |OM|=|OA|,即,(1),等式(1)是圆上任意一点的极坐标满足的条件,例1 求下列圆的极坐标方程 ()中心在极点，半径为2； ()中心在(a,0)，半径为a； ()中心在(a,/2)，半径为a； ()中心在(0,)，半径为r。,2,2acos ,2asin ,2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2,思考 已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？,练习1,以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是,C,你可以用极坐标方程直接来求吗？,题组练习2,（ ）,A、双曲线 B、椭圆 C、抛物线 D、圆,D,（ ）,C,*小结* 1. 曲线的极坐标方程概念 2. 怎样求曲线的极坐标方程 3. 圆的极坐标方程,2、 直线的极坐标方程,新课引入：,思考：在平面直角坐标系中,1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 ;过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为,x=3,x=3,2、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为_,x=a,特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。,答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点的坐标与之间的关系，然后列出方程(,)=0 ，再化简并讨论。,怎样求曲线的极坐标方程？,例题1：求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。,分析：,如图，所求的射线上任一点的极角都是 ，其,极径可以取任意的非负数。故所求,直线的极坐标方程为,新课讲授,1、求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。,易得,思考：,2、求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。,和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？,为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为,或,例1.求过点A（a,0）(a0),且垂直于极轴的直线的极坐标方程。,）,0,a,A,X,M,解：设M( ， )为直线上 除A外的任意一点，连接 OM，在三角形MOA中， 即 （1）,式（1）就是所求直线的极坐标方程,1、根据题意画出草图；,2、设点 是直线上任意一点；,3、连接MO；,4、根据几何条件建立关于 的方 程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。,解 题 基 本 步 骤,练习1 求过点A (a,/2)(a0)，且平行于 极轴的直线L的极坐标方程。,解：如图，建立极坐标系， 设点 为直线L上除点 A外的任意一点，连接OM,在 中有,即,可以验证，点A的坐标也满足上式。,sina,IOMI sinAMO=IOAI,练习2：设点P的极坐标为A ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线的极坐标方程。,解：如图，设点,为直线 上异于的点,连接OM，,在 中有,即,显然A点也满足上方程。,例题3设点P的极坐标为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。,则 由点P的极坐标知,由正弦定理得,显然点P的坐标也是它的解。,直线的几种极坐标方程,1、过极点,2、过某个定点垂直于极轴,4、过某个定点 ，且与极轴成的角度a,3、过某个定点平行于极轴, sin a,例4.把下列的直角坐标方程化为极坐标方程 (1)2x+6y-1=0 (2)x2 -y2=25,解：将公式 代入 所给的直角坐标方程中，得,化简得,随堂练习,A、两条相交的直线,B、两条射线,C、一条直线,D、一条射线,A,3、,( ),B,( ),B,( ),C,小结,1.圆的极坐标方程的概念； 2.如何求圆的极坐标方程； 3.会将直角坐标方程化为极坐标方程; 4.直线的极坐标方程的几种情况:,(1)过极点,(2)过某个定点，且垂直于极轴,(4)过某个定点，且与极轴成一定的角度,(3)过某个定点，且平行于极轴,6.将下列直角坐标方程化成极坐标方程系,7.将下列极坐标方程化为直角坐标方程,随堂练习,1（2007年高考）线 ,所围成的图形面积是（ ）,和,高考链接,D,2(2005年高考)在极坐标系中,以 为圆心, 以 半径的圆的方程为_,教材习题答案,2.解:,1.解: (1)表示圆心在极点，半径为5的圆； (2)表示过极点，倾斜角为 的直线； (3)表示过极点，圆心在 半径为1的圆,3.解:,4.解：（1） （2） （3） （4）,把点A 的极坐标化为直角坐标，得,化为直角坐标方程，得,在平面直角坐标系中，由点到直线的 距离公式，得点A 到直线 的距离,所以点A到这条直线的距离为,5.解：以极点为直角坐标原点,极轴为X轴正半轴建立平面直角坐标系，把直线的极坐标方程。,6.解 :(1)以椭圆中心O为直角坐标原点，长轴所在的直线为X轴建立直角坐标系,则椭圆的直角坐标方程为 将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程, 得,由于 可设,则,于是,所以 为定值,(2)依题意，得到,当且仅当 时，即 或 时， 有最小值 当 ，即 或 时， 有最大值,O,X,A,B,