1,2.3 系统的冲激响应描述,2.4 卷积,2.5 卷积性质,第二章 连续时间域分析,2.1 基本信号,2.2 系统的微分方程描述,电子教案目录,2,2.1 基本信号,1.正弦信号,2.复指数信号,3.阶跃信号,4.冲激信号,5.冲激偶信号,3,1.正弦信号,A为振幅，为初相，为振荡角频率，周期T和频率f分别为,2.1 基本信号,1. 正弦信号,正弦信号的定义,注意：正弦信号的时间移位、导数仍为正弦信号，具有同一频率的正弦信号相加也为同频率的正弦信号。,4,2.复指数信号,欧拉公式,一般形式的复指数信号定义为,因此,注意：虚部决定信号的振荡频率，而实部决定了信号振幅的变化， 0时则是增幅振荡，而 0时减幅振荡。,2.1 基本信号,2. 复指数信号,5,3.阶跃信号,突然接入的直流电压,突然接通又马上断开电源,（1）阶跃信号的物理背景（开关作用）,2.1 基本信号,3. 阶跃信号,6,（2）阶跃信号的数学描述,单位阶跃函数,延迟时间的阶跃信号,2.1 基本信号,3. 阶跃信号,7,（3）阶跃信号的特性,函数 t0 部分的截取, 单边特性, 加窗特性,矩形脉冲,加窗信号,2.1 基本信号,3. 阶跃信号,8,例2.1.1：用阶跃函数闭式表示分段光滑信号,f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2),2.1 基本信号,3. 阶跃信号,9,（4）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号,2.1 基本信号,3. 阶跃信号,10,4.冲激信号,（1）冲激信号的物理背景,冲激信号反映一种持续时间极短，函数值极大的脉冲信号的极限，如：雷击电闪、短促而强烈的干扰信号、瞬间作用的冲击等等。,单位冲激信号的特征：宽度无穷小（脉宽）、高度无穷 大（脉高）、面积为1（强度为1）的窄脉冲。,2.1 基本信号,4. 冲激信号,11,注意：图中K为强度，要括住！,（2）冲激信号(t)的数学描述,延迟单位冲激,(t)的狄拉克定义,单位冲击函数,一般冲激信号,2.1 基本信号,4. 冲激信号,12, 脉冲函数极限定义法,矩形脉冲逼近：,脉冲逼近：,积分：,极限：,2.1 基本信号,4. 冲激信号,13,频域积分定义法,此关系式是信号的拉氏变换和傅里叶变换的基础，请记住。,意义：冲激函数可用无限个频率的虚指数的“和”表示。,因为：,所以：,即：,2.1 基本信号,4. 冲激信号,14,（3）冲激信号（函数）的性质,引入冲激函数后，间断点的导数可以表示为, 冲激函数与阶跃函数的关系,冲激函数的积分为阶跃函数,阶跃函数的微分为冲激函数,微分,2.1 基本信号,4. 冲激信号,15,16,n,0,(t),例2.1.2,2.1 基本信号,4. 冲激信号,用冲激序列对连续信号抽样,17, 冲激函数的尺度变换性质,其中 a 为不等于 0 的实常数,推论,当取 时，有,为偶函数,所以,解：根据冲激函数的性质进行化简：,2.1 基本信号,4. 冲激信号,18,例2.1.4,写出右图所示信号 的表达式，并求一阶导数,解 利用冲激函数的尺度变换性质和抽样性质，有：,例2.1.5 化简表达式,2.1 基本信号,4. 冲激信号,19,5.单位冲激偶信号,（1）定义：,单位冲激函数 的导数为单位冲激偶函数,2.1 基本信号,5. 冲激偶信号,20,（2）单位冲激偶性质, 抽样性质： 设 为常规函数，其导数 在 t=t0 处连续，则积分, 积分性质：,2.1 基本信号,5. 冲激偶信号,21, 乘积性质：,注意：,2.1 基本信号,5. 冲激偶信号,22,LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称时域分析法。这种方法直观、物理概念清楚，是学习各种变换域分析方法的基础。,23,2.2 系统的微分方程描述,1.输入输出微分方程,2.零输入响应与零状态响应,24,仅以单一输出信号为未知量而不含其他中间物 理量的数学关系式称为系统的输入输出（I/O）方程. 对实际系统的分析： 首先要依据系统的定律和定理建立合理的模型； 其次要选取必要的物理量，列出这些物理量间所具有的数学关系； 最后运用信号与系统理论进行分析.,1.输入输出微分方程描述,1. 输入输出微分方程描述,2.2 系统的微分方程描述,25,一般情况下，MN , N 称为方程的阶数.,本书着重研究信号与线性系统分析的一般方法.,x(t)表示系统输入，y(t)表示输出，连续时间系统的I/O方 程可表示为：,一般连续时间系统的输入输出数学模型,1. 输入输出微分方程描述,2.2 系统的微分方程描述,26,齐次解 是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+ +a1y(1)(t)+a0y(t) = 0 的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。,微分方程的经典解： y(t) (完全解) = yh(t) (齐次解) + yp(t) (特解),微分方程的经典解,1. 输入输出微分方程描述,2.2 系统的微分方程描述,27,特解 的函数形式与激励函数的形式有关。,微分方程的经典解,1. 输入输出微分方程描述,2.2 系统的微分方程描述,齐次解 的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 x(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解 的函数形式由激励确定，称为强迫响应。,28,1. 输入输出微分方程描述,2.2 系统的微分方程描述,29,1. 输入输出微分方程描述,2.2 系统的微分方程描述,解：(2) 齐次解同上,30,y(t) = ya(t) + yb(t) , 可分别用经典法求解。 注意：对t=0时接入激励 x(t)的系统， 初始值 ya(j)(0+), yb(j)(0+) (j = 0，1， ，n-1)的计算： y(j)(0-)= ya(j)(0-)+ yb(j)(0-) y(j)(0+)= ya(j)(0+)+ yb(j)(0+) 对于零输入响应，由于激励为零，故有 ya(j)(0+)= ya(j)(0-) = y (j)(0-) 对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 yb(j)(0-)=0 yb(j)(0+)的求法下面举例说明。,2.零输入响应与零状态响应,2. 零输入响应与零状态响应,2.2 系统的微分方程描述,31,1. 输入输出微分方程描述,2.2 系统的微分方程描述,32,2. 零输入与零状态响应,2.2 系统的微分方程描述,33,2.3 系统的冲激响应描述,1.冲激响应,2.阶跃响应,34,1.冲激响应,2.3 单位的冲激响应描述,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。,解： 1、先求h(0+)和h(0+) 根据h(t)的定义有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0,例2.3.1 描述某系统的微分方程为 求其冲激响应h(t)。,1. 冲激响应,35,因方程右端有(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含(t)，h(t)含(t)，h(0+)h(0-)，h(0+)=h(0-)。两端积分得 h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 1,2、求t0时的微分方程 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0 故原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。 微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为 h(t)=(A1e-2t + A2e-3t)(t) h(t)=(-2A1e-2t -3 A2e-3t)(t) 代入初始条件 0=A1 + A2 1=-2A1 -3 A2 求得A1=1,A2=-1, 所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t),由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1,对高阶微分方程,2.3 单位的冲激响应描述,1. 冲激响应,36,例2.3.2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= x”(t) + 2x(t) + 3x(t) 求其冲激响应h(t)。,解： 利用线性系统的叠加性和齐次性和微分性,令(t) 单独输入时的输出为h1(t) ,即： h1”(t)+5h1(t)+6h1(t)= (t),则有 y(t)= h1”(t)+2h1(t)+3h1(t) (t) + (3e2t 6e3t)(t),由例1的结果知：h1(t)=( e-2t - e-3t)(t),当微分方程的右端包含高阶冲激函数时，可先按右端只为单位冲激函数的方法求出其响应，再根据线性系统的叠加性、齐次性和微分性质求解系统的冲激响应。,2.3 单位的冲激响应描述,1. 冲激响应,37,2.阶跃响应,由单位阶跃函数(t) 所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)。,系统方程的右端将包含阶跃函数 (t) ，所以除了齐次解外，还有特解项（1零阶微分项的系数）。,由于(t) 与(t) 为微积分关系，故,冲激响应和阶跃响应的关系,求解冲激响应需确定y(0+)，求解阶跃响应需确定特解。,2.3 单位的冲激响应描述,2. 阶跃响应,38,例2.3.3 系统的微分方程为 求出系统的阶跃响应和冲激响应。,解：（1）求单位阶跃响应 gx(t),特解为12,2.3 单位的冲激响应描述,2. 阶跃响应,39,（2）求阶跃响应g(t),（3）求冲激响应h(t),2.3 单位的冲激响应描述,2. 阶跃响应,40,2.4 卷积,1.卷积公式,2.卷积计算,41,1.卷积公式,（1）信号的时域分解, 预备知识,问 f1(t) = ? p(t),直观看出,2.4 卷积,1. 卷积公式,42, 任意信号分解,“0”号脉冲高度f(0) ,宽度为，用p(t)表示为：f(0) p(t),“1”号脉冲高度f() ,宽度为，用p(t - )表示为： f() p(t - ),“-1”号脉冲高度f(-) 、宽度为，用p(t +)表示为：,f ( - ) p(t + ),任意信号f(t)可以表示为冲激信号之加权积分卷积,2.4 卷积,1. 卷积公式,43,根据h(t)的定义：,(t),h(t),由时不变性：,(t -),h(t -),x()(t -),由齐次性：,x () h(t -),由叠加性：,x (t),y (t),卷积积分。,（2）任意信号作用下的零状态响应,2.4 卷积,1. 卷积公式,44,已知定义在区间（ ，）上的两个函数x1(t)和x2(t)，则定义积分,为x1(t)与x2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 x(t)= x1(t)*x2(t) 注意：积分是在虚设的变量下进行的，为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。,2.4 卷积,1. 卷积公式,（3）卷积的定义,任意激励作用下LTI系统的零状态响应是激励与冲激响应的卷积,45,2.卷积计算,2.4 卷积,2. 卷积计算,1)定 的区间和 t 的区间,由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化。,积分限由 的区间决定。,46,2.4 卷积,2. 卷积计算,47,解,例2.4.1 已知系统的冲激响应,时的响应y(t)。,，求输入,例2.4.2 已知系统的冲激响应,时的响应y(t)。,，求输入,解,2.4 卷积,2. 卷积计算,48,例2.4.3 已知一LTI系统的输出为,求该系统的单位冲激响应，并说明该系统的因果性。,解,系统的单位冲激响应,该系统是因果系统,2.4 卷积,2. 卷积计算,49,2）卷积的图解说明,卷积过程可分解为四步： 换