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课下层级训练(四十八)抛物线A级基础强化训练1点M(5,3)到抛物线yax2(a0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是()Ay12x2By12x2或y36x2Cy36x2Dyx2或yx2D分两类a0,a0),若直线y2x被抛物线所截弦长为4,则抛物线C的方程为()Ax28yBx24yCx22yDx2yC由得或即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p),则4,得p1(舍去负值),故抛物线C的方程为x22y.5(2018山东潍坊二模)直线yk(x2)(k0)与抛物线C:y28x交于A,B两点,F为C的焦点,若sin ABF2sin BAF,则k的值是()ABC1DB分别过A,B项抛物线的准线作垂线,垂足分别为M,N,则AFAM,BFBN. 设直线y(x2)(k0)与x轴交于点P,则P(2,0)抛物线的方程为y28x,抛物线的准线方程为x2,即点P在准线上sin ABF2sin BAF,根据正弦定理可得AF2BF,AM2BN,即B为PA的中点联立方程组消去x可得y2160设A,B,则y1y216B为PA的中点,y12y2,即B(1,2)P(2,0),直线AB的斜率为.6直线l过抛物线x22py(p0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是6,AB的中点到x轴的距离是1,则此抛物线方程是_x28y设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|y1y2p2p6,p4.即抛物线方程为x28y.7(2018四川南充三模)已知斜率为2的直线l过抛物线y2ax的焦点F,且与y轴相交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则a_8焦点坐标,|OF|,直线的点斜式方程y2在y轴的截距是,所以SOAF4,解得a264,a0,a8,y28x,故答案为8.8(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C:y24x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点若AMB90,则k_2方法一设点A(x1,y1),B(x2,y2),则yy4(x1x2),k设AB中点M(x0,y0),抛物线的焦点为F,分别过点A,B作准线x1的垂线,垂足为A,B,则|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0,y0)为AB中点,M为AB的中点,MM平行于x轴,y1y22,k2方法二由题意知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),设直线方程为yk(x1),直线方程与y24x联立,消去y,得k2x2(2k24)xk20设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x21,x1x2由M(1,1),得(1x1,1y1),(1x2,1y2)由AMB90,得0,(x11)(x21)(y11)(y21)0,x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10又y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1,y1y2k(x1x22),11k2k10,整理得10,解得k2.9已知抛物线y22px(p0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M(1)求抛物线的方程;(2)若过M作MNFA,垂足为N,求点N的坐标解(1)抛物线y22px的准线为x,于是45,p2,抛物线方程为y24x(2)由(1)知点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2)又F(1,0),kFAMNFA,kMNFA的方程为y(x1),MN的方程为yx2,联立解方程组得x,y,点N的坐标为10(2019河南郑州月考)已知过抛物线y22px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A,B,C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,则抛物线的方程为()Ay2xBy23xCy2xDy29xB如图,分别过点A,B作准线的垂线,交准线于点E,D,设|BF|a,则|BC|2a,由抛物线的定义得,|BD|a,故BCD30,在直角三角形ACE中,因为|AE|AF|3,|AC|33a,2|AE|AC|,所以633a,从而得a1,因为BDFG,所以.即,解得p,因此抛物线方程为y23x.13已知直线ya交抛物线yx2于A,B两点若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,则实数a的取值范围为_1,)如图,设C(x0,x)(xa),A(,a),B(,a),则(x0,ax),(x0,ax)CACB,0,即(ax)(ax)20,(ax)(1ax)0.xa10,a1.14(2017全国卷)已知F是抛物线C:y28x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|_6如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,PMOF由题意知,F(2,0),|FO|AO|2点M为FN的中点,PMOF,|MP|FO|1又|BP|AO|2,|MB|MP|BP|3由抛物线的定义知|MF|MB|3,故|FN|2|MF|6.15如图,已知抛物线Cy22px(p0),焦点为F,过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A,M两点,设A(x1,y1),M(x2,y2)(1)若y1y28,求抛物线C的方程;(2)若直线AF与x轴不垂直,直线AF交抛物线C于另一点B,直线BG交抛物线C于另一点N.求证:直线AB与直线MN斜率之比为定值(1)解设直线AM的方程为xmyp,代入y22px得y22mpy2p20,则y1y22p28,得p2抛物线C的方程为y24x(2)证明设B(x3,y3),N(x4,y4)由(1)可知y3y42p2,y1y3p2又直线AB的斜率kAB,直线MN的斜率kMN,2故直线AB与直线MN斜率之比为定值16(2018浙江卷)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y24x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点,求PAB面积的取值范围. (1)证明设P(x0,y0),A,B因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程24即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0,因此,PM垂直于y轴(2)解由(1)可知,所以|PM|(yy)x0y3x0,|y1y2|2因此,PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0)因为x1(x00),所以y4x04x4x044,5,因此,PAB面积的取值范围是
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