第三章 一元一次方程本章知识网络结构图3.1一元一次方程的概念和性质【本讲主要内容】1. 等式与方程 表示相等关系的式子叫做等式。含有未知数的等式叫做方程。可见方程必须具备两个条件：一是必须含有未知数，二是必须是一个等式。2. 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（减）同一个数（式子）。结果仍相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意“同”字。要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必须同时进行变形。3. 一元一次方程的概念我们把含有一个未知数，并且未知数的指数都是1的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的最简形式是（0）。方程中的未知数叫做“元”，一个方程中有几个未知数，就称这个方程为几元方程。方程中含未知数的项的最高次数叫做方程的次数，这一点和多项式的次数有类似的地方。例如是一元一次方程，是一元二次方程，是二元一次方程，是二元二次方程。4. 方程的解与解方程方程是一个有待研究的等式，即研究这个等式中的未知数取什么值时等式才成立。解方程就是确定使方程中等号左右两边相等的未知数的值，我们把这样的未知数的值叫做方程的解。这样的值可能有一个或多个，也可能没有，所以方程可能有一个解、多个解，也可能无解。如方程3x-5=4x+3只有一个解x=-8。方程2x-7=5x-（3x+7）有无数个解，而方程2x-3=2x+2无解。求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。利用等式的性质，对方程进行一系列的变形，就可以求出方程的解。5. 思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）建模思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想. 方程思想：用方程解决实际问题的思想就是方程思想. 化归思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式. 体现了化“未知”为“已知”的化归思想. 数形结合思想：在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性. 分类思想：在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用. 【典型例题】例1. 已知方程2xm3+3x=5是一元一次方程，则m= . 例2. 已知是方程ax2（2a3）x+5=0的解，求a的值. 例3.已知a、b为定值，无论k为何值，关于x的一元一次方程的解总是1，试求a、b的值。例4.（2011台北13）若a：b：c2：3：7，且ab3c2b，则c值为何？(A) 7 (B) 63 (C) (D)例5. (2011江苏镇江，17，2分)把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体(且没有剩余)，其中棱长为1的正方体的个数为_ _例6. 参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，保险公司制度的报销细则如下表，某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是1260元，那么此人的实际医疗费是（ ）住院医疗费（元）报销率（%）不超过500的部分0超过5001000的部分60超过10003000的部分80 A. 2600元 B. 2200元 C. 2575元 D. 2525元例7. 足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分，请问：前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？ 这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？ 例8. 关于x的方程2x43m和x2m有相同的解，则m的值是( ) A10 B8 C10 D8 例9.已知y3是6(my)2y的解，那么关于x的方程2m(x1)(m1)(3x4)的解是多少?例10. 扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示. 如果长方体盒子的长比宽多4，求这种药品包装盒的体积. 例11. （2012无锡）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款： 投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择： 方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10% 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率=100%）（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元问：甲、乙两人各投资了多少万元？【模拟试题】一、选择题：1.在2x+3y-1;1+7=15-8+1;1-x=x+1 x+2y=3中方程有( )个. ( ) A.1 B.2 C.3 D.42.若方程3-4=5(a已知,x未知)是一元一次方程,则a等于( ) A.任意有理数 B.0 C.1 D.0或13.x=2是下列方程( )的解. A.2x=6 B.(x-3)(x+2)=0 C.x2=3 D.3x-6=04.x、y是两个有理数,“x与y的和的等于4”用式子表示为( ) A. B. C. D.以上都不对二、填空：5.列式表示: (1)比x小8的数：_;(2)a减去b的的差;(3)a与b的平方 和:_;(4)个位上的数字是a、十位上的数字是b的两位数:_.6.下列式子各表示什么意义? (1)(x+y)2:_;(2)5x=y-15:_;(3) :_.7.甲乙两运输队,甲队32人,乙队28人,若从乙队调走x人到甲队,那么甲队人数恰好是乙队人数的2倍,列出方程(32+x)=2(28-x)所依据的相等关系是_.(填写题目中的原话)8.一根铁丝用去后还剩下3米,设未知数x后列出的方程是x-=3,其中x是指_.9.甲乙两人从相距40千米的两地同时出发,向相而行,三小时后相遇.已知甲每小时比乙多走3千米,求乙的速度,若设乙的速度为x千米/时,列出方程为3x+3(x+3)=40,其中3(x+3)表示_.三、解答题：10.某中学一、二年级共1000名学生,二年级学生比一年级少40人,求该中学一年级人数是多少?(设未知数、列方程并估计问题的解).11.随随与州州约好1小时后到州州家去玩,他骑车从家出发半小时后发现时间不够了便将速度提高到原来的2倍,半小时后准时到达州州的家.已知他们家相距30千米,求随随原来的骑车速度.(画出路程示意图,设未知数列方程并估计问题的解)12.甲乙两个数,甲数比乙数的2倍多1,乙数比甲数小4,求这两个数(用不同的方法设元、列方程并估计解)13.方程17+15x=245, 2(x+1.5x)=24都只含有一个未知数,未知数的指数都是1,它们是一元一次方程,方程x2+3=4,x2+2x+1=0,x+y=5是一元一次方程吗?若不是,它们各是几元几次方程?3.2 一元一次方程的解法【本讲主要内容】一. 教学内容：一元一次方程和它的解法二. 教学目标和要求：1. 了解一元一次方程的概念，能写出一元一次方程的标准形式。2. 熟练掌握利用等式性质解一元一次方程的基本过程，能熟练地求解一元一次方程。三. 重点、难点：1. 重点：移项法则、一元一次方程的概念及其解法。2. 难点：一元一次方程解法步骤的灵活运用。四. 知识要点：1. 一元一次方程的概念（1）定义：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式（），它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，我们把这一类方程叫做一元一次方程。（2）一元一次方程的标准形式：方程（其中是未知数，是已知数，且）叫做一元一次方程的标准形式（是未知数的系数，是常数项）。2. 一元一次方程的解法（1）解一元一次方程的一般思路 先经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形，将方程化为最简方程（）的形式，然后将方程两边都除以，得方程的解。（2）移项法则：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这类变形叫做移项，这个法则叫做移项法则。（3）解一元一次方程的一般步骤： 去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数。 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 移项：把含未知数的项都移到方程的左边，不含未知数的项移到右边。 合并同类项：把方程化成（）的形式。 系数化1：在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解。（4）检验方法：将所得的解分别代入原方程的左边和右边，如果左边=右边，说明所得的解是原方程的解；如果左边右边，说明解题过程有错误，应认真检查，一定是哪一步的计算出了错误。【典型例题】例1. 已知是关于的一元一次方程，求的值。例2. 若关于的方程的解为正整数，求正整数的值。例3. 解方程例4.解方程: +-+=2005. 例5. 已知关于x的方程ax+5=的解x与字母系数a都是正整数,求a的值.例6. 解方程 . 例7. (2009年贵州安顺)在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：（1） 小明他们一共去了几个成人，几个学生？（2） 请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由。