北师大版九年级上册数学北师大版九年级上册数学 第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形 解答题训练（一）解析版解答题训练（一）解析版 1在菱形 ABCD 中，点 P 是 BC 边上一点，连接 AP，点 E，F 是 AP 上的两点，连接 DE，BF，使得 AEDABC，ABFBPF 求证：（1）ABFDAE； （2）DEBF+EF 2（1）计算：（1）+|2|+（2）0； （2）如图，四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OAOD求证： 四边形 ABCD 是矩形 3如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱形 ABCD 的边 AD，BC 上，顶点 F，H 在菱形 ABCD 的对 角线 BD 上 （1）求证：BGDE； （2）若 E 为 AD 中点，FH2，求菱形 ABCD 的周长 4已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且 BEDF，连结 AE，AF求证： AEAF 5如图，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、CD 上的一点，且 DFBE求证：AFCE 6如图，矩形 ABCD 中，AB8，AD6，点 O 是对角线 BD 的中点，过点 O 的直线分别交 AB、CD 边于点 E、F （1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形； （2）当 DEDF 时，求 EF 的长 7如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 CEFG 的面积为 S1，点 E 在 DC 边上，点 G 在 BC 的 延长线上，设以线段 AD 和 DE 为邻边的矩形的面积为 S2，且 S1S2 （1）求线段 CE 的长； （2）若点 H 为 BC 边的中点，连接 HD，求证：HDHG 8如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别为 AD、CD 边上的点，DEDF，求证：12 9如图，在ABC 中，ABAC将ABC 沿着 BC 方向平移得到DEF，其中点 E 在边 BC 上，DE 与 AC 相交于点 O （1）求证：OEC 为等腰三角形； （2）连接 AE、DC、AD，当点 E 在什么位置时，四边形 AECD 为矩形，并说明理由 10如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，连接 DE，过点 A 作 AGED 交 DE 于点 F，交 CD 于点 G （1）证明：ADGDCE； （2）连接 BF，证明：ABFB 11如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 分别为 OB，OD 的中点，延长 AE 至 G，使 EGAE，连接 CG （1）求证：ABECDF； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由 12如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 OC 上一点，连接 EB过点 A 作 AMBE， 垂足为 M，AM 与 BD 相交于点 F求证：OEOF 13如图，在矩形 ABCD 中，分别取 AB，BC，CD，DA 的中点 E，F，G，H，连接 EF，FG，GH，HE， 求证：四边形 EFGH 是菱形 14如图，矩形 ABCD 中，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB，CD 边于点 E、F （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形； （2）只需添加一个条件，即，可使四边形 BEDF 为菱形 15如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 在 AD 的延长线上，P 是对角线 BD 上的一点，且点 P 位于 AE 的 垂直平分线上，PE 交 CD 于点 F （1）猜测 PC 和 PE 有什么大小及位置关系，并给出证明 （2）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，当ABC120时，连接 CE，试 探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系并说明理由 16如图，在平行四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，过点 C 作 CQDB，且 CQDP，连接 AP、BQ、PQ （1）求证：APDBQC； （2）若ABP+BQC180，求证：四边形 ABQP 为菱形 17如图，等边AEF 的顶点 E，F 在矩形 ABCD 的边 BC，CD 上，且CEF45求证：矩形 ABCD 是正方形 18如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与点 A、B 重合），连接 DE，点 A 关于直线 DE 的对称点为 F，连接 EF 并延长交 BC 于点 G，连接 DG，过点 E 作 EHDE 交 DG 的延长线于点 H，连接 BH （1）求证：GFGC； （2）用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明 19如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，连接 DE、CE （1）求证：ADEBCE； （2）若 AB6，AD4，求CDE 的周长 20如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4M、N 在对角线 AC 上，且 AMCN，E、F 分别是 AD、 BC 的中点 （1）求证：ABMCDN； （2）点 G 是对角线 AC 上的点，EGF90，求 AG 的长 第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形 解答题训练（一）解答题训练（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 1【分析】（1）根据菱形的性质得到 ABAD，ADBC，由平行线的性质得到BOADAE，等量 代换得到BAFADE，求得ABFDAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到 AEBF，DEAF，根据线段的和差即可得到结论 【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是菱形， ABAD，ADBC， BPADAE， ABCAED， BAFADE， ABFBPF，BPADAE， ABFDAE， ABDA， ABFDAE（ASA）； （2）ABFDAE， AEBF，DEAF， AFAE+EFBF+EF， DEBF+EF 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键 2【分析】（1）先根据相反数，绝对值，零指数幂进行计算，再求出即可； （2）先求出四边形 ABCD 是平行四边形，再求出 ACBD，最后根据矩形的判定得出即可） 【解答】解：（1）（1）+|2|+（2）0 1+2+1 4； （2）证明：四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形， AC2AO，BD2OD， OAOD， ACBD， 四边形 ABCD 是矩形 【点评】本题考查了相反数，绝对值，零指数幂，平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点， 能求出每一部分的值是解（1）的关键，能求出四边形 ABCD 是平行四边形是解（2）的关键 3 【分析】 （1）根据矩形的性质得到 EHFG，EHFG，得到GFHEHF，求得BFGDHE， 根据菱形的性质得到 ADBC，得到GBFEDH，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）连接 EG，根据菱形的性质得到 ADBC，ADBC，求得 AEBG，AEBG，得到四边形 ABGE 是平行四边形，得到 ABEG，于是得到结论 【解答】解：（1）四边形 EFGH 是矩形， EHFG，EHFG， GFHEHF， BFG180GFH，DHE180EHF， BFGDHE， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC， GBFEDH， BGFDEH（AAS）， BGDE； （2）连接 EG， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC，ADBC， E 为 AD 中点， AEED， BGDE， AEBG，AEBG， 四边形 ABGE 是平行四边形， ABEG， EGFH2， AB2， 菱形 ABCD 的周长8 【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的 关键 4【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可 【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形， ABAD，BD， BEDF， ABEADF（SAS）， AECF 【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答 5【分析】由 SAS 证明ADFBCE，即可得出 AFCE 【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形， DB90，ADBC， 在ADF 和BCE 中， ADFBCE（SAS）， AFCE 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等 是解题的关键 6【分析】（1）根据矩形的性质得到 ABCD，由平行线的性质得到DFOBEO，根据全等三角 形的性质得到 DFBE，于是得到四边形 BEDF 是平行四边形； （2）推出四边形 BEDF 是菱形，得到 DEBE，EFBD，OEOF，设 AEx，则 DEBE8x 根据勾股定理即可得到结论 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ABCD， DFOBEO， 又因为DOFBOE，ODOB， DOFBOE（ASA）， DFBE， 又因为 DFBE， 四边形 BEDF 是平行四边形； （2）解：DEDF，四边形 BEDF 是平行四边形 四边形 BEDF 是菱形， DEBE，EFBD，OEOF， 设 AEx，则 DEBE8x 在 RtADE 中，根据勾股定理，有 AE2+AD2DE2 x2+62（8x）2， 解之得：x， DE8， 在 RtABD 中，根据勾股定理，有 AB2+AD2BD2 BD， ODBD5， 在 RtDOE 中，根据勾股定理，有 DE2OD2OE2， OE， EF2OE 【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理， 熟练掌握矩形的性质是解题的关键 7【分析】（1）设出正方形 CEFG 的边长，然后根据 S1S2，即可求得线段 CE 的长； （2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出 HD 和 HG 的长，即可证明结论成立 【解答】解：（1）设正方形 CEFG 的边长为 a， 正方形 ABCD 的边长为 1， DE1a， S1S2， a21（1a）， 解得，（舍去）， 即线段 CE 的长是； （2）证明：点 H 为 BC 边的中点，BC1， CH0.5， DH， CH0.5，CG， HG， HDHG 【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解 答 8【分析】由菱形的性质得出 ADCD，由 SAS 证明ADFCDE，即可得出结论 【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形， ADCD， 在ADF 和CDE 中， ADFCDE（SAS）， 12 【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等 是解题的关键 9【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出BACB，根据平移得出 ABDE，求出BDEC， 再求出ACBDEC 即可； （2）求出四边形 AECD 是平行四边形，再求