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海淀区高三年级第二学期期末练习 数学(理科) 2019.5 本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项(1)已知集合,则 (A)1,3 (B)3,5 (C)5,6 (D)1,6(2)复数的实部是虚部的2倍,则的值为 (A) (B) (C) -2 (D)2(3,若直线: (为参数),经过坐标原点,则直线的斜率是 (A) -2 (B) -1 (C)1 (D)2(4)在的展开式中,的系数是 (A) -80 (B) -10 (C)5 (D) 40(5)把函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为,则的值为(A) ( B) (C) (D) (6)学号分别为1,2,3,4的4位同学排成一排,若学号相邻的同学不相邻,则不同的排法种数为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(7)已知函数,则“函数的图象经过点(,1)”是“函数的图象经过点()”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)如图,在棱长为1的正方体中,点是对角线上的动点(点与不重合)则下面结论中错误的是 (A)存在点,使得平面平面 (B)存在点,使得平面(C) 分别是在平面,平面上的正投影图形的面积,对任意点, (D)对任意点,的面积都不等于 第二部分(非选择题共1 10分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。(9)已知直线与平行,则 ,与之间的距离为 ( 10)已知函数是偶函数,则 ( 11)若数列的前项和,则满足的的最小值为(12)已知圆与曲线相交于两点,则线段的长度为 (13)在矩形中,点为的中点,点在线段上若,且点在直线上,则 (14)已知集合.给定一个函数,定义集合 若对任意的成立,则称该函数具有性质“ ” (I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是 ; ()给出下列函数:;,其中具有性质“9”的函 数的序号是_(写出所有正确答案的序号) 三、解答题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程( 15)(本小题满分13分) 在中, ()求的值; ()若是钝角三角形,求边上的高(16)(本小题满分13分) 某快餐连锁店招聘外卖骑手,该快餐连锁店提供了两种日工资方案:方案(1)规定每日底薪50元,快递业务每完成一单提成3元;方案(2)规定每日底薪100元,快递业务的前44单没有提成,从第45单开始,每完成一单提成5元,该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量,现随机抽取100天的数据,将样本数据分为 25,35), 35,45),45,55),55,65),65,75),75,85),85,95七组,整理得到如图所示的频率分布直方图。 ()随机选取一天,估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率; ()从以往统计数据看,新聘骑手选择日工资方案(1)的概率为,选择方案(2)的概率 为若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘,三人选择日工资方案相互独 立,求至少有两名骑手选择方案(1)的概率; ()若仅从人均日收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替) ( 17)(本小题满分14分) 如图1所示,在等腰梯形,垂足为,.将沿折起到的位置,使平面平面,如图2所示,点为棱上一个动点。 ()当点为棱中点时,求证:平面 t ()求证:平面; ()是否存在点,使得二面角的余弦值为? 若存在,求出的长;若不存在,请说明理由(18)(本小题满分13分) 已知椭圆的左顶点 与上顶点的距离为 ()求椭圆的方程和焦点的坐标; ()点在椭圆上,线段的垂直平分线与轴相交于点,若为等边三角形,求点的横坐标(19)(本小题满分14分) 已知函数,其中 ()求曲线在点 处切线的倾斜角; ()若函数的极小值小于0,求实数的取值范围( 20)(本小题满分13分) 对于给定的奇数 ,设是由个数组成的行列的数表,数表中第行,第列的数,记为的第行所有数之和,为的第列所有数之和,其中. 对于,若且同时成立,则称数对为数表的一个“好位置” ()直接写出右面所给的数表的所有的“好位置”; ()当时,若对任意的 都有成立,求数表 中的“好位置”个数的最小值; ()求证:数表中的“好位置”个数的最小值为海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案 数 学 (理科) 2019.05一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. B 2. D 3.D 4. A 5. B 6. A 7. A 8. C 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 10. 11. 12. 13. 14.(答案不唯一), 三、解答题: 本大题共6小题,共80分. (15)(共13分)解:()在中,因为,所以由正弦定理 得. ()方法1:由余弦定理 得即,解得或 因为,所以为中最大的角,当时,与为钝角三角形矛盾,舍掉当时,为钝角三角形,所以 设边上的高为,所以 方法2: 因为,所以,所以,所以为中最大的角因为为钝角三角形,所以为钝角 因为,所以 所以 设边上的高为,所以 16.(共13分)解:() 设事件为“随机选取一天,这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于单”依题意,连锁店的人均日快递业务量不少于单的频率分别为:因为所以估计为. () 设事件为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案(1)” 设事件为“甲乙丙三名骑手中恰有人选择方案(1)”, 则 所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案(1)的概率为 ()方法1:设骑手每日完成快递业务量为件 方案(1)的日工资,方案(2)的日工资 所以随机变量的分布列为所以 同理随机变量的分布列为 因为,所以建议骑手应选择方案(1) 方法2: 快餐店人均日快递量的期望是: 因此,方案(1)日工资约为 方案2日工资约为 故骑手应选择方案(1) 17.(共14分)解: () 方法1: 在图1的等腰梯形内,过作的垂线,垂足为, 因为,所以 又因为 ,所以四边形为正方形,为中点 在图2中,连结 因为点是的中点, 所以 又因为,平面,平面, 所以平面平面 又因为 ,所以平面 方法2:在图1的等腰梯形内,过作的垂线,垂足为 因为,所以 又因为 ,所以四边形为正方形 , 为中点 在图2中,连结 因为点是的中点, 所以 又平面,平面 所以平面 又因为,平面,平面 所以平面 又因为 所以平面平面 又因为 ,所以平面 方法3:在图1的等腰梯形内,过作的垂线,垂足为, 因为,所以 又因为 ,所以四边形为正方形
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