(适用于信息管理与信息系统、工商管理专业 30H) 主讲教师：屈春艳,管理决策模型与方法（AHP部分）,第四章 层次分析法,决策的研究中存在的两种倾向： 一是过分地依赖数学模型，期望对复杂的问题进行定量而精确的分析并追求大而复杂的数学模型，其结果是无法反映人们的经验因素，因而使相当多的数学模型的最优解与现实中的最优相距甚远。 二是过多的偏重于行为、逻辑、推理方面的研究和分析，而忽视了把重要因素定量地反映到决策中来，以致于不能够定量描述因素之间的相关关系。 正是在这种背景下，产生了层次分析理论。,层次分析法(The Analytic Hierarchy Process，简称AHP方法)是美国运筹学家A.L.Saaty教授二十世纪七十年代提出的，它是一种新的定性与定量分析相结合的系统分析方法。AHP本质上是一种决策思维方式，人们往往把AHP看作一种最优化技术，归入多目标决策的一个分支，但AHP改变了以往最优化技术只能处理定量分析问题的传统观念，而率先进入了长期滞留在定性分析水平上的许多科学研究的领地。AHP最大的贡献在于提供了对非定量事件作定量分析的简便方法，而导致这种贡献的最关键突破在于对人的主观判断做出了客观的定量描述。,层次分析法的理论核心,AHP法是综合定性与定量分析，使决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化或规范化的一种方法，其理论核心是：很多复杂的系统可以简化为有序的递阶层次结构，决策问题通常表现为一组方案优先顺序的排列问题，而这种排序又可以通过简单的两两比较形式导出。,层次分析法的特点,（1）思路简单明瞭，它将决策者的思维过程条理化、数量化，便于计算，容易被人们所接受； （2）所需要的定量数据较少，但对问题的本质，包含的因素及其内在关系分析得清楚； （3）可用于复杂的非结构化的问题，以及多目标、多准则、多时段等各种类型问题的决策分析，具有较广泛的实用性。,第一节 层次分析法的原理,一、AHP的基本思想 层次分析法对复杂决策问题处理的基本思想是：在对问题充分研究后首先分析问题内在因素间的联系，并把它划分为若干层次，如措施层(或方案层)、准则层（含子准则）、目标层等。措施层指的是决策问题的可行方案，准则层是指评价方案优劣的准则，目标层指的是解决问题所追求的总目标，把各层间要求的联系用直线表示出来，所形成的层次结构如下图所示。,AHP的基本思想(另一种说法),以系统方法为指导，在对问题充分研究后首先分析问题内在因素间的联系，并把它划分为若干层次，然后通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系，最后进行简单的数学运算，从而实现对方案进行排序的一种简洁实用的决策方法。,二、层次分析法的基本原理,复杂的决策问题往往涉及到许多因素，如社会、政治、经济、科技乃至自然环境等，因此要认识一个复杂系统就比较困难。层次分析法正是处理此类问题的有效方法。它首先提出了递阶层次结构理论，然后给这种递阶层次结构进行定量描述，通过排序理论得出满足系统总目标要求的各个方案（或措施）的优先次序。因此，层次分析法的基本原理可归纳为层次的数学原理特征向量方法、递阶层次结构原理、两两比较标度与判断原理、层次排序原理。,（一）层次分析法的数学原理 特征向量方法,重量两两进行比较如下：,个物体,重量分别记为,。现将每个物体的,假设有,，它们的,物体重量两两比较结果：,若以矩阵来表示各物体的这种相互重量关系，即,上式中，,称为判断矩阵。,则有：,若取重量向量,上述事实提示我们，如果有一组物体(假设其重量总和为1)，需要知道它们的重量，而又没有衡器，那么我们就可以通过两两比较它们的相互重量，得出每对物体重量比的判断，从而构成判断矩阵;然后通过求解判断,根据这一思路，对于复杂管理决策问题，通过建立层次分析模型, 对于一些无法测量的因素，只要引入合理的标度，构造出判断矩阵，就可以应用这种求解判断矩阵的最大特征根及其特性向量的方法,来确定出相应各种方案、措施、政策等相对于总目标的重要性权值(因素之间的相对重要性)，从而为有关决策提供依据。,一个复杂的无结构问题可分解为它的若干组成部分或因素。例如，目标、约束、准则、子准则、方案等,按照属性的不同把这些因素分组形成互不相交的层次，上一层次的因素对相邻的下一层次的全部或某些因素起着支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系,具有这种性质的层次称为递阶层次。分析建立一个有效的合理的递阶层次结构对于能否解决问题具有决定性意义。,（二）递阶层次结构原理,例: 某人拟从相同配置的金长城电脑、联想电脑和托普电脑中购买一台，其决策的层次结构模型如下图所示。,（三）两两比较的标度与判断原理,而言，,为,层的因素，,则有判断矩阵如表4-1所示。其中,表示对,相对重要性的数值表现形式。,对,如，设,表41 判断矩阵,任何一个递阶层次结构，均可以建立若干个判断矩阵，判断矩阵数目是该递阶层次结构图中，除最低一层以外的所有各层次的因素之和。 对于两两比较的比率采用什么标度，也即判断比率问题。层次分析法采用的标度是1-9标度法，如表4-2 所示。,表42 标度方法,AHP从决策角度提出社会经济因素的测度方式。在其测度过程中存在两种标度： 一种是规定性标度，它用于在某一准则下两个元素相对重要性或优劣的测度，属于比例标度，标度值为19之间的整数及其倒数，测量方法是两两比较判断并赋值，其结果表现为正的互反矩阵。 另一种标度是导出标度，用于被比较元素相对重要性程度的测量，标度值为0，1区间的实数，通过计算判断矩阵的特征向量导出测度结果，它涉及AHP的排序理论(后面的内容将详细叙述)。,(1)AHP测度是通过两两比较判断给出的，在进行这种判断的时候，被比较的对象在它们所具有的某种属性特征上应该是比较接近的，否则定性分析将没有什么意义，而且测量也缺乏必要的精度。在估计事物的区别时，可以用五种判断很好表示其特征的重要程度(或强弱程度)，即同等重要、较重要、重要、很重要、极其重要(或相等、较强、强、很强、绝对强)。当需要更高精度时，还可以在相邻判断之间做出比较，这样就有九个数值，它们有连贯性，因此在实践中可以应用。同时，当一个客体比另一客体的强弱判断用19中的某个整数表达时，后者与前者相比，其判断当然可以用这些整数的倒数来表达，这是比例标度用19的整数及其倒数的理由之一。,采用19比例标度方法的依据,(2)人们对事物某种属性同时做出判断比较，并且使判断基本保持一致性时，所能感知的最小差异是多少？这个问题属于心里学范畴。显然，这个最小差异与被比较事物所涉及的属性有关。很多心里学家在此方面做过实验。心里学家G.A.Miller的实验表明在某种属性上对若干个不同物体进行辨别时，普通人能正确辨别的物体数目在59个之间。Miller认为， 9个项目为心理学上的测量极限。这表明用19足以表述人在同时比较某种属性差异的档次判断，这是比例标度采取19标度的第二个理由。,(3)19标度是一种比例标度，以此为元素组成的判断矩阵，一般不具有一致性。这里的一致性包括基本一致性与次序一致性。 基本一致性是指：如果要素甲比要素乙重要两倍，要素乙比要素丙重要四倍，则要素甲比要素丙重要八倍。在介绍判断矩阵时所给公式 bij bjk = bik就是基本一致性的数学表达式； 所谓次序一致性是说：如果要素甲比要素乙重要，乙又比丙重要，则要素甲比要素丙重要。,利用AHP的比例标度进行判断赋值，允许违反上述两类一致性。即便是在判断不一致甚至相互矛盾的情况下对被比较要素进行标度，所求得的导出标度仍然趋近于实际情况。况且这种标度方法不要求对被比较的事物有专门的知识，普通非专业人员也可使用。因此19标度在众多可采用的标度中，堪称一种最佳标度，这是选择19标度的第三个理由。,(4)如果需要用比标度19更大的数，可用聚类分析方法将因素进一步分解聚类，在比较这些因素之前，先比较这些类，这样就可使所比较的因素间的差别落在19标度范围内。,（四）层次排序原理,层次排序原理包括：层次单排序、层次总排序和一致性检验理论。,1、层次单排序原理：确定各层次中因素对相邻上一层次的各因素的优先次序称为层次单排序。,层次单排序可归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，即对判断矩阵,应因素单排序的权值。最常见的求特征向量的计算方法有和积法(求和法)、方根法、正规化求和法及特征向量法。 前三种方法是近似方法，使得人们可以在使用小型计算器并保证足够精确度的条件下应用层次分析法；而最后一种方法则是严格计算特征向量的方法。,（1）求和法,计算步骤是： 把判断矩阵的元素依行相加，即,（2）正规化求和法,具体步骤如下： 将判断矩阵每一列进行正规化,正规化后，每列各元素之和为1；,每一列经过正规化后的判断矩阵按行相加,（3） 方根法,计算步骤如下：,计算判断矩阵每一行元素的乘积,（4）特征向量法,计算,取一个与判断矩阵同阶的初值向量,以上计算可以在计算机上很容易地完成。但由于这种计算并不要求太高的精确度，判断矩阵元素的给出也不是太精确，因此用前述的第二、三种方法已经足够了。,（四）层次排序原理(续),2、一致性检验原理：在计算出层次单排序结果之后，对于计算所依据的判断矩阵还要进行一致性检验。按照各因素重要程度、优先次序对比的内在规律，判断矩阵应该满足以下三个条件（称为“完全一致性条件”）。 (1) 对角线元素为1,(2) 右上三角和左下三角对应元素互为倒数,(3) 因素优先次序的传递关系,如果给出的判断矩阵完全满足这三个条件，说明评分与决策准则没有矛盾。但由于客观事物的复杂性，人们在分析问题时，认识具有片面性，要达到完全一致性是非常困难的。例如甲、乙两个因素相比较，当问甲比乙的重要等级时，回答是较重要，甲得5分，而问乙比甲的重要等级时,可能回答是乙比甲稍次要，乙得0.25分，这里51/0.25分,破坏了一致性条件，判断出现矛盾,正确的应是乙得1/5分。,而一致性检验是根据矩阵理论来进行的，,可以看出CI为零，具有完全一致性，CI越大，一致性越差。对复杂问题进行判断时，做到完全一致性比较困难，但是必须要有满意一致性。何为满意一致性呢？为此，将CI与平均随机一致性指标RI进行比较(RI是通过多次随机试验，通过改变判断矩阵的数值引起CI的变化，再将不同的CI平均起来而求得的。)，各阶RI值如表4-3所示。,表4-3 各阶RI的值,在这里，对于1，2阶判断矩阵，RI只是形式上的，因为1，2阶判断矩阵总具有完全一致性，当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率，记为CR。当CR0.10时，判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要对判断矩阵进行调整。,（四）层次排序原理(续),3、层次总排序及其一致性检验：计算同一层次上不同因素对总目标的优先次序称为层次总排序。这一过程是由最高层次到最底层次逐层进行的。,此时B层次总排序权值由表4-4给出。,其层次总排序权值分别为,下一层次B包含n个因素,它们对于因素,的层次单排序权值分别为,(当Bk,与,无联系时，,),若上层次A,包括m个因素,为了评价层次总排序的一致性，需要进行与单排序类似的检验，称为层次总排序的一致性检验。这一步骤也是从高到低逐层进行的。,类似地，当CR0.10时，认为层次总排序结果具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。,第二节 层次分析法的基本步骤和分析计算过程,一、AHP的基本步骤 层次分析方法通常用于解决一组方案或客体的优先排序问题。其基本过程，大体可以分为如下五个基本步骤：,（一）明确问题，建立层次结构,AHP在用于决策分析时，首选要弄清决策问题的范围及要求，所包含的有关因素，各因素之间的关系等，以便尽量掌握充分的信息。在充分定性分析的基础上建立递阶层次结构，形成一个多层次的塔式结构。 这种层次结构常用结构图来表示(见图4-1)，图中要标明上下层元素之间的关系。如果某一个元素与下一层的所有元素均有联系，则称这个