课堂达标(四十五) 抛物线A基础巩固练1(2016四川卷)抛物线y24x的焦点坐标是()A(0,2)B(0,1)C(2,0)D(1,0)解析 y24x焦点(1,0)，故选D.答案D2(2018哈尔滨九中二模)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|等于()A. B3 C. D2解析设Q到l的距离为d，则|QF|d，4，|PQ|3d，不妨设直线PF的斜率为2，F(2,0)，直线PF的方程为y2(x2)，与y28x联立可得x1，|QF|d123，故选：B.答案B3(2018山西高三考前质量检测)已知抛物线C1：x22py(p0)的准线与抛物线C2：x22py(p0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若FAB的面积等于1，则C1的方程是()Ax22y Bx2yCx2y Dx2y解析由题意得，F，不妨设A，B，SFAB2pp1，则p1，即抛物线C1的方程是x22y，故选A.答案A4(2018广东广州质检)如图，从点M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线y28x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：xy100上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0()A5 B6 C7 D8解析由题意可知，p4，F(2,0)，P(2,4)，Q(2，4)，QN：y4，直线QN，MN关于l：xy100对称，即直线l平分直线QN，MN的夹角，直线MN垂直于x轴解得N(6，4)，故x06.答案B5已知P为抛物线yx2上的动点，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是，则|PA|PM|的最小值是()A8 B. C10 D.解析依题意可知焦点F，准线方程为y，延长PM交准线于点H(图略)则|PF|PH|，|PM|PF|，|PM|PA|PF|PA|，即求|PF|PA|的最小值因为|PF|PA|FA|，又|FA|10.所以|PM|PA|10，故选B.答案B6(2018南昌二模)已知抛物线C：y24x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则SMFN等于()A. B.C. D.解析设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以SMFNp|y1y2|2|y1y2|y1y2|，直线方程是y(x1)与抛物线方程联立，y，整理为：y24y40，y1y2，y1y24，所以|y1y2|，故选B.答案B7(2018江西重点高中模拟考试)已知圆C过抛物线y24x的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆C的圆心不在x轴上，且与直线xy30相切，则圆C的半径为_解析因抛物线的准线方程为x1，焦点坐标为F(1,0)，故设圆心坐标为C(1，t)(t0)，由题意圆的半径r，解之得t8，所以圆的半径r14，应填答案14.答案148已知点M(3,2)是坐标平面内一点，若抛物线y22x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是_解析抛物线的准线方程为x，当MQx轴时，|MQ|QF|取得最小值，此时点Q的纵坐标y2，代入抛物线方程y22x得Q的横坐标x2，则|QM|QF|23|.答案9已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若，则p_.解析如图，由AB的斜率为，知60，又，M为AB的中点过点B作BP垂直准线l于点P，则ABP60，BAP30，|BP|AB|BM|.M为焦点，即1，p2.答案210已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解(1)抛物线y22px(p0)的准线为x，于是45，p2，抛物线方程为y24x.(2)点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA.MNFA，kMN.又FA的方程为y(x1)，故MN的方程为y2x，解方程组得x，y，N的坐标为.B能力提升练1过抛物线x24y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且ABCD，则的最大值等于()A4 B16 C4 D8解析依题意可得，(|)又因为|yA1，|yB1，所以(yAyByAyB1)设直线AB的方程为kx1(k0)，联立x24y，可得x24kx40，所以xAxB4k，xAxB4.所以yAyB1，yAyB4k22.所以(4k24)同理.所以16.当且仅当k1时等号成立答案B2(2018吉大附中第七次模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与双曲线x21的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|BF|，且|AF|2，则抛物线的方程为()Ay22x By23x Cy24x Dy2x解析抛物线y22px(p0)的焦点F的坐标为，准线方程为x，与双曲线x21的渐近线方程为yx，由于过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与双曲线x21的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，且|AF|BF|，所以可设直线AB方程为：y，设A(x0，y0)，则|AF|x02，x02，由x0可得0p0)相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_解析如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条当k存在时，x1x2，则有2，又y1y22y0，所以y0k2.由CMAB，得k1，即y0k5x0，因此25x0，x03，即M必在直线x3上将x3代入y24x，得y212，则有2y02.因为点M在圆上，所以(x05)2yr2，故r2y44(为保证有4条，在k存在时，y00)，所以4r216，即2r0)(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ上的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围解(1)抛物线C：y22px(p0)的焦点为，由点在直线l：xy20上，得020，即p4，所以抛物线C的方程为y28x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.由消去x得y22py2pb0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b0.方程(*)的两根为y1,2p，从而y0p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x02p.因此，线段PQ的中点坐标为(2p，p)因为M(2p，p)在直线yxb上，所以p(2p)b，即b22p.由知p2b0，于是p2(22p)0，所以p.因此，p的取值范围是.8