课堂达标(三十五) 空间几何体的表面积与体积A基础巩固练1(2017浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.1B.3C.1D.3解析V31，选A.答案A2(2018山西省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3，则侧视图中线段的长度x的值是()A. B2 C4 D5解析分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥PABCD，故其体积V4CP3，CP，x4，故选C.答案C3(2017课标)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B. C. D.解析绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：AC1，AB，结合勾股定理，底面半径r，由圆柱的体积公式可得：圆柱的体积是Vr2h21，故选B.答案B4(2018青岛二模)已知三棱锥DABC中，ABBC1，AD2，BD，AC，BCAD，则该三棱锥的外接球的表面积为()A. B6 C5 D8解析由勾股定理易知DABC，ABBC，BC平面DAB，CD.AC2AD2CD2.DAAC.取CD的中点O，由直角三角形的性质知O到点A，B，C，D的距离均为，其即为三棱锥的外接球球心故三棱锥的外接球的表面积为426. 答案B5某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A286 B306C5612 D6012解析由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE平面BCD，CDBD，且CD4，BD5，BE2，ED3，AE4.AE4，ED3，AD5.又CDBD，CDAE，则CD平面ABD，故CDAD，所以AC且SACD10.在RtABE中，AE4，BE2，故AB2.在RtBCD中，BD5，CD4，故SBCD10，且BC.在ABD中，AE4，BD5，故SABD10.在ABC中，AB2，BCAC，则AB边上的高h6，故SABC266.因此，该三棱锥的表面积为S306.答案B6如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为()A. B.C. D.解析平面ACD1截球O的截面为ACD1的内切圆因为正方体的棱长为1，所以ACCD1AD1，所以内切圆的半径rtan 30，所以Sr2. 答案C7有一根长为3 cm，底面直径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为_ cm.解析把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC3 cm，AB4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度AC5(cm)，故铁丝的最短长度为5 cm.答案58(2017江苏)如图，在圆柱O1，O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切记圆柱O1，O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_解析设球半径为r，则，故答案为.答案9(2018辽宁省沈阳二中期中)如图，在三棱柱ABCA1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一个动点P，Q，且满足A1PBQ，M是棱CA上的动点，则的最大值是_解析设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1PBQ，四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等，M是棱CA上的动点，M是C时，最大又四棱椎MPQBA的体积等于三棱锥CABA1的体积等于V，的最大值是.答案10.如图，在三棱锥DABC中，已知BCAD，BC2，AD6，ABBDACCD10，求三棱锥DABC的体积的最大值解由题意知，线段ABBD与线段ACCD的长度是定值，因为棱AD与棱BC相互垂直设d为AD到BC的距离则VDABCADBCd2d，当d最大时，VDABC体积最大，ABBDACCD10，当ABBDACCD5时，d有最大值.此时V2.B能力提升练1(2018太原一模)如图，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为()A3 B. C4 D.解析由图示可得BDAC，BC，DBC与ABC都是以BC为斜边的直角三角形，由此可得BC中点到四个点A，B，C，D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为，所以该外接球的表面积S423.答案A2(2018宁夏银川市兴庆区长庆高中一模试卷)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. B. C. D4解析如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥PABCD.连接BD.其体积VVBPADVBPCD 122122.答案B3如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作为一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为_解析由题意，图中弧为过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为A1AEBAF，所以EAF，由弧长公式知弧的长为2.弧为不过球心的平面与球面相交所得小圆的一段弧，其圆心为B，因为球心到平面BCC1B1的距离d，球的半径R2，所以小圆的半径r1，又GBF，所以弧的长为1.故两段弧长之和为.答案4(2016浙江)如图，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PDDA，PBBA，则四面体PBCD的体积的最大值是_解析设PDDAx，在ABC中，ABBC2，ABC120，AC2，CD2x，且ACB(180120)30，SBCDBCDCsinACB2(2x)(2x)要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的最大距离为x.则V四面体PBCD(2x)x(x)23，由于0x2，故当x时，V四面体PBCD的最大值为3.答案5如图，在直三棱柱ABCABC中，ABC为等边三角形，AA平面ABC，AB3，AA4，M为AA的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥CMNP的体积解(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为.(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB展开，如下图，设PCx，则MP2MA2(ACx)2.MP，MA2，AC3，x2，即PC2.又NCAM，故，即.NC.(3)SPCNCPCN2.在三棱锥MPCN中，M到面PCN的距离，即h3.VCMNPVMPCNhSPCN.C尖子生专练如图所示，从三棱锥PABC的顶点P沿着三条侧棱PA，PB，PC剪开成平面图形得到P1P2P3，且P2P1P2P3.(1)在三棱锥PABC中，求证：PABC；(2)若P1P226，P1P320，求三棱锥PABC的体积解(1)证明：由题设知A，B，C分别是P1P3，P1P2，P2P3的中点，且P2P1P2P3，从而PBPC，ABAC，取BC的中点D，连接AD，PD(图略)，则ADBC，PDBC，又ADPDD，BC平面PAD.又PA平面PAD，故PABC.(2)由题设有ABACP1P213，PAP1ABC10，PBPCP1B13，ADPD12，在等腰三角形DPA中，底边PA上的高h，SDPAPAh5.又BC平面PAD，VPABCVBPDAVCPDABDSDPADCSPDABCSPDA105.10