多属性决策分析,第二讲,多属性决策的准备工作,多属性决策方法,AHP方法,多属性多指标综合评价特点,指标间的不可公度性 指标之间没有统一量纲，难以用同一标准进行评价 指标之间可能存在一定的矛盾性 某一方案提高了这个指标，去可能损害另一指标。,第一节 多属性决策的准备工作,多属性决策的准备工作包括：决策问题的描述、相关信息的采集（即形成决策矩阵）、决策数据的预处理和方案的初选（或称为筛选）。 一、决策矩阵 经过对决策问题的描述（包括设立多属性指标体系）、各指标的数据采集，形成可以规范化分析的多属性决策矩阵。 设有n个决策指标fi（1jn），m个备选方案ai 1im），m个方案n个指标构成的矩阵 X=(xij)mn 称为决策矩阵。决策矩阵是规范性分析的基础。 决策指标分两类：效益型（正向）指标，数值越大越优；成本型指标（逆向指标），数值越小越优。,为了直观，也可以辅助于决策表,二、决策指标的标准化,指标体系中各指标均有不同的量纲，有定量和定性，指标之间无法进行比较。 将不同量纲的指标，通过适当的变化，化为无量纲的标准化指标，称为决策指标的标准化，又叫数据预处理。 有三个作用： 1）变为正向指标 2）非量纲化，消除量纲影响，仅用数值表示优劣 3）归一化，把数值均转变为0,1区间上，消除指标值标度差别过大的影响。,下面介绍几个常用的预处理方法。在决策中可以根据情况选择一种或几种对指标值进行处理。,指标的标准化可以部分解决目标属性的不可公度性。,1、向量归一化,2、线性比例变化法,3、极差变换法,4、标准样本变换法,5、定性指标的量化处理,如一些可靠性、满意度等指标往往具有模糊性，可以将指标依问题性质划分为若干级别，赋以适当的分值。一般可以分为5级、7级、9级等。 P41表21,三、决策指标权的确定,多属性决策问题的特点，也是求解的难点在于目标间的矛盾性和各目标的属性的不可公度。不可公度性通过决策矩阵的标准化处理得到部分解决；解决目标间的矛盾性靠的是引入权(weight)这一概念。 权，又叫权重，是目标重要性的度量。权的概念包含并反映下列几重因素： 决策人对目标的重视程度； 各目标属性的差异程度； 各目标属性的可靠程度 确定权重是非常困难的，因为主观的因素，权重很难准确。,确定权的方法有两大类： 主观赋权法：根据主观经验和判断，用某种方法测定属性指标的权重； 客观赋权法：根据决策矩阵提供的评价指标的客观信息，用某种方法测定属性指标的权重。 两类方法各有利弊，实际应用时可以结合使用。 下面介绍几种常用的确定权的方法,1、相对比较法,相对比较法是一种主观赋权法。将所有指标分别按行和列，构成一个正方形的表，根据三级比例标度，指标两两比较进行评分，并记入表中相应位置，再将评分按行求和，最后进行归一化处理，得到各指标的权重。,例22 P43,使用本方法时要注意：1、指标之间要有可比性；2、应满足比较的传递性（一致性）。,2、连环比较法（古林法）,连环比较法也是一种主观赋权法。 以任意顺序排列指标，按顺序从前到后，相邻两指标比较其相对重要性，依次赋以比率值，并赋以最后一个指标的得分值为1； 从后往前，按比率依次求出各指标的修正评分值；最后进行归一化处理，得到各指标的权重。,例23 P44,本方法容易满足传递性，但也容易产生误差的传递。,3、信息熵法,信息熵法是一个客观的赋权法，根据决策矩阵所具有的信息量来赋权。 如果某一个属性（准则）的值对所有的方案都差不多，那么这个属性对于决策来讲作用就不大，即便是这个属性很重要。如何测定这种效应呢？ 在信息学中，熵是不确定性的一个指标，用概率分布来表示，它认为一个广泛的分布比具有明显峰值的分布表示更不确定。Shannon给出的表达方法如下：,其中k是正的常数。当所有的Pi都相等时，即Pi=1/n，熵值最大。指标值的差异越小，对方案的评价作用越低，权重应该减小。,分别计算每个属性的熵、差异系数和标准化权重：,可见，X5的权重最大，X3的权重最小。,四、专家咨询法（或Delphi法） 见P45,4、最小加权法,又称最小二乘法，是Chu等人提出的，它涉及线性代数方程组解集，而且从概念上比Saaty的特征向量法更容易理解。,注意：本方法同样要求判断矩阵的一致性。,多属性决策的准备工作,多属性决策方法,AHP方法,第二节 多属性决策方法,1、标准水平法,由于多属性决策时，属性间具有不可替代性，决策人对部分或全部属性可能设定标准水平要求。有两种方式：,1）联合法 决策者设立了必须接受的最小属性值（标准等级），任何不满足最小属性值的方案都被否定，这种方法叫联合法。 关键点在于标准等级（也叫阈值）的设定，要适当。 如：考研单科设限、招收新员工、评定职称,2）分离法 分离法评价方案是建立在最大的一个属性值上，达到标准的方案就接受。 如：高考特招生、选拔足球运动员（在防守、速度特长）,特点： 属性间不可补偿 在实践中被大量应用 可以保证任何在某方面特别差的个体或方案不被选入 只需分出接受或不接受,特点： 在实践中被大量应用 可以保证所有个体或方案在某方面有特长,2、字典法,本方法类似查字典。 对于一些决策情形下，单个的属性在决策中的作用很显著，甚至在最重要的属性上就可以进行决策。在最重要属性上，如果某个方案对于其他方案有较高的属性值，该方案就被选择，决策结束；如果在最重要的属性上不能区分优劣，就以第二重要的属性来进行比较；这个过程可以进行进行，直到一个方案被选中或所有的属性都被考虑过。 如：高校招生，按高考成绩排序，同样成绩者，优秀三好生优先。 特点： 本方法需要对属性的重要性排序 有可能漏掉更好的方案，如对高考的批评。 可能的改进是不会因为属性值略高一点就被认为更好。,3、简单线性加权法P46,是一种最常用的多属性决策方法。方法是先确定各决策指标的权重，再对决策矩阵进行标准化处理，求出各方案的线性加权均值，以次作为各方案排序的判据。 注意：标准化时，要把所有指标属性正向化。,步骤： 1）用适当的方法确定各属性的权重，设权重向量为,3）求出各方案线性加权指标值,4）选择线性加权指标值最大者为最满意方案,例24 P46,注意： 1）简单线性加权法潜在的假设是各属性在偏好上独立，即单个属性值对于整体评价的影响与其他属性值相互独立。如篮球运动员身高和体重不是相互独立的。 2）权重设定的不可靠。如一个权重是0.1，另一个是0.4，多达4倍的关系，是否真正合理？ 3）假设多个属性的效用可以分解成单个属性的效用。如篮球运动员身高和体重需要相匹配。 4）但是理论推导、仿真计算和经验判断都表明，简单加权法与复杂的非线性形式产生的结果很相似，而前者有简单多的理解和使用特点，因此得到普遍的应用。,4、理想解法（TOPSIS法）,由Yoon和Hwang开发，又称逼近理想解排序法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution） 这种方法通过构造多属性问题的理想解和负理想解，以方案靠近理想解和远离负理想解两个基准作为方案排序的准则，来选择最满意方案。 理想解：就是设想各指标属性都达到最满意值的解； 负理想解：就是设想各指标属性都达到最不满意值的解。 理想解和负理想解一般都是虚拟的方案,可以将m各方案n个属性的多属性决策问题视作在n维空间中的m个点构成的几何系统中进行处理，此时所有的方案都看成该系统的解。 为了直观起见，用两个属性的决策空间：,图中A*为理想解，A为负理想解,各方案接近理想解和远离负理想解的测度：贴近度。 贴近度涉及到理想解的距离和到负理想解的距离。,TOPSIS决策的步骤,例25 P49,改进的理想解法（P51）,改进的理想解法增加了客观赋权的步骤。 原理是先确定权重，使所有方案点到理想解点的距离之和最小，然后再按普通理想解法进行方案排序。 思考：这种方式确定的权重会有什么特点？和信息熵客观赋权法有什么区别？其经济（物理）意义？ 越靠近理想点的方案权重应该会越大。,TOPSIS法用的是欧几里德距离，还有一种距离叫做街区距离，如图。,设系统具有n项评价指标 f1(x)，f2(x)，fn(x)，其中 k1项越大越好，k2项越小越好，其余（nk1k2）项要求适中。现在分别为这些指标赋以一定的功效系数di, 0di1, 其中di0表示最不满意，di1表示最满意；一般地，dii(x)，对于不同的要求，函数i(x)有着不同的形式，当fi越大越好时选用（a），越小越好时选用（b），适中时选用（c）；把fi(x)转化为di后，用一个总的功效系数：,4 功效系数法,案例分析,设某系统有3个因素： 土地占用量R1，大于600亩为不可接受，介于500亩为最好； 耗电R2，大于1500千瓦为不可接受，介于1000千瓦为最好； 用水量R3，大于100吨/小时为不可接受，介于60吨/小时为最好。 现有两个方案，已知， 方案1：R1=540亩，R2=1300千瓦，R3=90吨/小时； 方案2：R1=570亩，R2=1200千瓦，R3=80吨/小时。 试评价哪个方案最优？,今求解于上图，故得：,可见方案2综合评估为较好。,多属性决策的准备工作,多属性决策方法,AHP方法,3、特征向量法,应用前两种方法时，如果目标属性比较多，一旦主观赋值一致性不好时也无法进行评估。为了能够对一致性可以进行评价，Saaty引入了一种使用正数的成对比较矩阵的特征向量原理测量权的方法，叫做特征向量法。这种方法在层次分析法(AHP)采用，也可以用在其他多属性决策。 下面我们讲解一下原理。,3.1 权重的求解思路,假设各属性真实的权重是,因此权重向量 的求解方法：,用幂法原理求矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量。,算术平均法。对于一个一致的判断矩阵，它每一列归一化后，就是相应的权重向量；当判断矩阵不太一致时，每一列归一化后就是近似的权重向量，可以按行相加后再归一化（相当算术平均值）。 1）将判断矩阵按列归一化（即使列和为1）： 2）按行求和得一向量： 3）再向量归一化： 所得 即为A的特征向量的近似值，也就是权重。,4）求A的最大特征值,几何平均法。对于一个一致的判断矩阵，按行求几何平均值得到的向量是和权重向量成固定比例的，归一化后就是近似的权重向量。 1）将矩阵A按行求几何平均值： 2）对向量 归一化，令 所得 即为A的特征向量的近似值，也就是权重。 3）按 求最大特征值。,3.2 一致性检验,3.3 判断矩阵的构造 19标度法则,得到判断矩阵后的第一步是要进行一致性检验，只有通过检验，计算的权向量才有价值。 详细内容参考教材5371,案例,