4.1 计算机控制系统的稳定性分析,离散系统稳定性的概念与连续系统一样 稳定性 是指系统扰动作用下偏离原平衡点，当扰动作用消失以后，系统恢复到原平衡状态的性能。 若系统能恢复平衡状态，称系统是稳定的；若系统在扰动作用消失以后，不能恢复平衡状态，则称系统是不稳定的。 系统的稳定性是系统的固有特性，它与扰动的形式无关，只取决于系统本身的结构参数。,1、S 平面和 Z 平面的相互关系,复变量 z 和 s 之间的关系,令 s = j，则,由此可得S 平面和 Z 平面的基本对应关系： S 平面 虚轴 映射为 Z 平面的单位圆， S 左半平面映射在Z 平面的单位圆内，右半平面则映射在单位圆外。,角频率 与 Z 平面相角的关系,当 S 平面的点沿虚轴由 变化到 时，Z 平面的相角也从 变化到 ，且 每变化一个 s ，Z 平面的相角就变化 2，即转了一周。,S 平面可分为许多宽度为 s 的平行带， 其中 的带称为主带，其余均为旁带。 S 平面上的主带与旁带，将重复映射在整个 Z 平面上。,s平面中的周期带与z平面中相对应的单位圆,等 线（等衰减）映射,s平面上的等 垂线，映射到z平面上的轨迹，是以原点为圆心、以 为半径的圆,等 线（等频率）映射,在采样周期T 确定的情况下，s平面上的等 水平线，映射到 z 平面上的轨迹，是一簇从原点出发的射线，其相 角 ，以实轴正方向为基准,等阻尼 线映射,s平面上的等阻尼 线可用式 描述,映射到z平面为,【解】 S 平面实部相同而虚部相差 s 的整数倍的点均映射为Z平面同一点,若 s 10，试求它们映射在 Z 平面上的点。,例1 如图所示，在 S 平面有三个点，分别为：,2、离散系统的稳定条件,离散系统稳定的充要条件 离散系统对应的特征方程的解必须全部位于单位圆内，只要有一个根在单位圆外，系统就不稳定。若系统的根位于单位圆上，系统处于稳定边界，亦称为不稳定。,（1）直接求特征方程的根来判别稳定性 （2）修正的Routh稳定性判则 劳斯古尔维茨判据为连续系统的稳定判据，可以通过一种变换（双线性变换）将离散系统特征方程对应的单位圆内的根映射位为左半平面的根，这样就可用Routh判据来分析离散系统的稳定性。,3、计算机控制系统稳定性的判断,设离散系统的特征多项式为,【证】,引入双线性变换,可以将 转化为 ，然后就可借助劳斯判据判断稳定性。,例2 设采样系统的特征方程为,根据劳斯判据 在 w右 半平面有两个根，故该采样系统有两个根在单位圆外，因此系统不稳定,例3 如图所示的系统，为保证系统闭环稳定，放大系数的倍数 K 的取值范围。,该系统的广义对象为,（3）Jury稳定性判据,这是一个在数学上直接判断离散系统特征方程的根的模值是否小于 1 （即在单位圆内）的判据。,设离散系统的特征方程为 构造 Jury表：,朱利表：,从第3 行开始，所有奇数行n用以下公式计算： 第(n2)行系数第(n1)行系数上两行末列系数之商,Jury判据 若特征方程式中 a00，则只有当Jury表中所有奇数行第一列系数均大于零时，该方程的全部特征根才位于单位圆内。即,若其中有小于零的系数，则其个数等于特征根在 z 平面单位圆外的个数。 【注】如第一列出现零元素或有全零行，则需要作特殊处理,例4 已知系统的特征方程为,【解】 构造Jury表,试判断其稳定性。,其奇数行首列系数有两个小于零，故系统不稳定，且有 2 个根位于单位圆外。,离散系统特征方程的解均位于单位圆内的必要条件是： 判断系统稳定性可用如下步骤： 判断必要条件是否成立，若不成立，系统不稳定； 若必要条件成立，再构造朱利表进一步判断。 【注】若必要条件满足，且前面奇数行首列元素均大于零，则Jury表中的最后一行系数必大于零。,例5 已知系统特征方程为 试判断其稳定性。,【解】 检验必要条件,系统满足必要条件,构造Jury表,可见奇数行首列系数均大于零，故系统稳定,构造Jury表： （最后一行不必再判断）,（4） 二阶离散系统的稳定判据,设系统特征方程为 系统稳定的必要条件为,为使系统稳定，须满足,由此可推得 即,这等价于,由此可得二阶离散系统稳定充要条件的简便形式：,例6 已知采样系统如图所示：,其中 ，T=1 秒，试求使系统稳定的 k 值范围。,【解】开环传函,闭环特征方程：,综合起来有,为使系统稳定，须满足二阶系统稳定的充要条件：,4、采样周期对稳定性的影响,【解】系统开环传函为,例7 已知如图所示采样统， ，试讨论试判断采样周期为 1s或4s 时，闭环系统的稳定性。,系统闭环特征方程为：,将采样周期 代入上式，得到特征方程为,求得采样周期 时系统的闭环极点为,闭环极点的模为,显然，极点 和 均位于 z 平面的单位圆内，所以闭环系统是稳定的。,将采样周期 代入上式，得到特征方程为,求得采样周期 时系统的闭环极点为,闭环极点的模为,显然，极点 位于z平面的单位圆内，所以闭环系统是不稳定的。,采样周期 T 是影响稳定性的重要参数，一般来说，T 减小，稳定性增强,连续系统的误差信号定义 稳态误差为上述误差的终值，即 采样系统的误差信号定义为采样时刻的误差，即 稳态误差：,4.2 计算机控制系统稳态误差分析,1、离散系统稳态误差的定义,2、线性定常系统稳态误差的计算,系统的分类 连续系统通常按系统开环传函所含积分环节的个数来分类，根据映射关系，s 域的积分环节，即 s = 0 处的极点，映射至 z 域为z = 1 处的极点，所以采样系统则按其开环脉冲传函在z =1 处的极点个数来分类，分别有 0 型、I 型、II 型系统。,如图所示的单位反馈系统,闭环误差传函,由此可得,(1)终值定理法,根据终值定理，系统在采样时刻的稳态误差为,稳态误差与输入信号 及系统结构 的特性均有关。,则稳态误差可表示为 其中 为稳态位置误差系数,输入信号为单位阶跃函数,其 Z 变换为,显然，Kp 增大，稳态误差将减小。,(2)静态误差系数法,对“ 0 ”型系统，开环传函 D(z)G(z) 在 z = 1 处无极点，即不含积分环节， Kp 为有限值，所以稳态误差为有限值； 对“ I ”型系统，开环传函 D(z)G(z) 在 z = 1 处有一个极点，即含有一个积分环节， Kp 为无穷大，所以稳态误差为0； 对于高于“ I ”型的系统，开环传函 D(z)G(z) 在 z = 1 处有多个极点，即含有多个积分环节， Kp 为无穷大，所以稳态误差为0；,【结论】 若输入信号为阶跃函数，对单位反馈系统，采样时刻无稳态误差的条件是系统前向通道中至少含有一个积分环节，这样的系统也称为位置无差系统。,其中 为速度误差系数,输入信号为单位斜坡函数 r (t) = t,其 Z 变换为,稳态误差,为使系统对斜坡输入的稳态误差为零，则前向通道中至少含有两个积分环节。,其中 为加速度误差系数,输入信号为单位抛物线函数,其 Z 变换为,稳态误差,输入为加速度函数时，对“ II ”型以下的系统稳态误差为无穷大。,离散系统稳态误差小结,误差系数,稳态误差,例8 计算机控制系统的如下图所示。设采样周期 秒，试确定系统分别在单位阶跃、单位斜坡和单位抛物线函数输入信号作用下的稳态误差。,解 系统的开环z传递函数为,系统闭环特征方程为,令 代入上式，求得,由于系数均大于零，所以系统是稳定的。先求出静态误差系数：,静态速度误差系数为,静态加速度误差系数为,单位阶跃输入信号作用下：,单位斜坡输入信号作用下 ：,单位抛物线输入信号作用下：,3、干扰作用下的稳态误差,令 r (t) = 0 ，此时误差完全由扰动信号 n (t) 引起，即,由终值定理可求得扰动作用下的稳态误差,设扰动作用点在被控对象上，则有,4、A/D 变换器对稳态误差的影响,8 位 A/D 转换器（单极性），其分辨率为 当A/D 输入小于 0.0039 时，A/D 则处于非灵敏区 而输出为零。 对单位反馈系统，若 r (t) =1 , 由于A/D的死区，当输出 x 0.9961 时，其误差信号 e 将进入A/D 的死区，从而e 的转换结果为零，此时存在稳态误差 这不是由系统原理引起的误差，而是系统部件的非灵敏区造成的。,5、采样周期对稳态误差的影响,如图所示连续系统与其相应的采样系统，分析其稳态误差。,系统类型与误差系数的关系为,连续部分传函的一般形式,采样系统 的开环传函,对 “ 0 ” 型系统，v = 0,误差系数,对“ I ”型系统，v =1,误差系数,类似地也可求得 “II” 型系统的误差系数 与连续系统的误差系数比较，二者完全一致，而与 T 无关。,尽管采样系统的稳态误差系数的计算公式中包含了 T，但实际计算中公式中的 T 与系统开环脉冲传函的 T 相对消，因此稳态误差与采样周期 T 无关。 【注】 以上结论只对含零阶保持器的采样系统成立，其它情况不一定能完全对消 T。,4.3 计算机控制系统的响应特性分析,计算机控制系统的响应特性分析也包括动态响应和稳态响应的分析,通常动态性能指标包括延迟时间td、上升时间tr、峰值时间tp、调节时间ts、最大超调量 等，其定义均与连续系统一致。,稳态响应是时间 时系统的输出状态。一般认为输出进入稳态值附近5或3的范围内就可以表明动态过程已经结束。,尽管动态性能指标的定义与连续系统相同，但在 Z 域分析时，只能针对采样时刻 的值，而在采样间隔内，系统的状态并不能被表示出来，因此不能精确描述和表达采样系统的真实特性。在采样周期较大时，尤其如此。,例9 已知计算机控制系统如下图所示，设采样周期T=1s ，试分析系统的单位阶跃响应特性。,解 广义z传递函数为,闭环z传递函数为,系统闭环极点为 ，模为 ， 因此系统是稳定的,系统的输出的z变换为,系统的输出的终值为,系统在单位阶跃输入作用下的过渡过程具有衰减振荡的形式，系统是稳定的。其超调量为40%，且峰值出现在第三、四个采样周期之间，约经过12个采样周期结束过渡过程，系统稳态值为1。,s平面绘制闭环系统根轨迹的特征方程：,形式完全相同！,s 平面绘制根轨迹的所有规则z平面都适用，绘制方法完全相同。,z平面绘制闭环系统根轨迹的特征方程：,4.4 z平面根轨迹分析法,但应注意: z平面上的稳定边界是单位圆而不是一条直线,例10 系统如下图所示，设采样周期T=1s,且,试绘制系统的根轨迹，并确定系统临界稳定时的K值。,解 系统的开环传递函数为,系统的根轨迹如下图所示。Z 平面的临界放大系数由根轨迹与单位圆的交点求得，为 。,。,离散系统频率特性定义 连续系统的频域特性在正弦信号作用下，系统的稳态输出与输入的复数比随正弦信号频率变化的特性。此定义同样适用于离散系统，只是对应的输入输出信号均为离散值。,4.5 线性离散系统的频率特性分析,即离散系统频率特性相当于考察脉冲传函当 z 沿单位圆变化时的特性。,线性计算机控制系统的频率特性可按下式计算,1 计算机控制系统频率特性绘制方法,(1)数值计算法,例11 已知连续传递函数 ，相应的z传递函数为 ，设采样周期为T=1s ，试求其频率特性。,，,解 连续环节频率特性为,离散环节的频率特性为,因此，可以得到幅值为,例11系统的的幅频特性与相频特性,将脉冲传函写成零极点形式 设m =1，n =2，即,(2)几何作图法,相应的幅频特性为,相频特性为,可见，