直线过定点问题的几种解法 王健 在解析几何中有一类探求直线过定点的问题 本文通过一 例给出解答这类问题的几种方法 例若 m、 n 满足 m 2n = 1， 则直线 mx + 3y + n = 0 过定 点 解法 1: ( 比较系数法) mx + 3y + n = 0 即 mx + n = 3y 该式两边同乘以 2 可 得 2xm 2n = 6y 与已知式m 2n = 1 比较， 两式对应项的系 数应相等， 故有 2x = 1， 6y = 1 ， 得 x = 1 2 ， y = 1 6 所以直线过定点( 1 2 ， 1 6 ) 解法 2: ( 特例验证法) 先取其中两条特殊直线， 分别取 m = 7， n = 6， 和 m = 5， n = 2， 代入 mx + 3y + n = 0 中， 再由 7x + 3y + 6 = 0， 5x + 3y + 2 = 0 ， 解得 x = 1 2 ， y = 1 6 ， 得到交点( 1 2 ， 1 6 ) 验证知( 1 2 ， 1 6 ) 满足方程 mx + 3y + n = 0 所以直线过定点( 1 2 ， 1 6 ) 解法 3: ( 恒等式法) 由 m 2n = 1， 得 m = 1 + 2n， 代入 mx + 3y + n = 0 中， 关 于参数 n 进行整理， 化得 ( 2x + 1) n + ( x + 3y)= 0 上式对任意实数 n 恒成立， 故有 2x + 1 = 0， x + 3y = 0 ， 解得 x = 1 2 ， y = 1 6 所以直线过定点( 1 2 ， 1 6 ) 解法 4: ( 直线系法) 将 n = m 1 2 代入 mx + 3y + n = 0 中， 化得 m( 2x + 1)+ ( 6y 1)= 0 该直线系过两条直线 2x + 1 = 0 与 6y 1 = 0 的交点 联立 2x + 1 = 0， 6y 1 = 0 ， 易得交点坐标是( 1 2 ， 1 6 ) 故直线过定点( 1 2 ， 1 6 ) 解法 5: ( 直线系法 2) 将常数 1 = m 2n 代入 mx + 3y + n = 0 中， 化得 ( x + 3y) m + ( 1 6y) n = 0 依直线系方程， 知该直线系过两条直线 x + 3y = 0 与1 6y = 0 的交点 联立 x + 3y = 0， 1 6y = 0 解得 x = 1 2 ， y = 1 6 故直线过定点( 1 2 ， 1 6 ) 解法 6: ( 点斜式方程法) 由 mx + 3y + n = 0， 有 y = m 3 x m 3 由 m 2n = 1， 有 n = m 1 2 代入上式， 整理得 y 1 6 = m 3 ( x + 1 2 ) 对比点斜式方程， 知直线过定点( 1 2 ， 1 6 ) 参考以上各方法， 解答下列两题: 1 设2m + n = 1， 则直线mx + ny = 2 2m过定点 2 设 a + b = k( 常数 k 0) ， 则直线 ax + by = 1 过定 点 答案: 1 ( 1， 2)2 (1 k ， 1 k ) 哈尔滨师范大学附属中学 ( 150080) 41