考点规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用一、基础巩固1.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2答案B解析A项,设向量a与b的夹角为,则ab=|a|b|cos|a|b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=|a|-|b|;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|a|-|b|.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.2.已知a,b为单位向量,其夹角为60,则(2a-b)b=()A.-1B.0C.1D.2答案B解析由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角=60,则(2a-b)b=2ab-b2=2|a|b|cos-|b|2=211cos60-12=0,故选B.3.已知向量a=(1,2),b=(m,-4),若|a|b|+ab=0,则实数m等于()A.-4B.4C.-2D.2答案C解析设a,b的夹角为,|a|b|+ab=0,|a|b|+|a|b|cos=0,cos=-1,即a,b的方向相反.又向量a=(1,2),b=(m,-4),b=-2a,m=-2.4.若向量BA=(1,2),CA=(4,5),且CB(BA+CA)=0,则实数的值为()A.3B.-92C.-3D.-53答案C解析BA=(1,2),CA=(4,5),CB=CA+AB=CA-BA=(3,3),BA+CA=(+4,2+5).又CB(BA+CA)=0,3(+4)+3(2+5)=0,解得=-3.5.在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为()A.5B.25C.5D.10答案C解析依题意得,ACBD=1(-4)+22=0,ACBD.四边形ABCD的面积为12|AC|BD|=12520=5.6.在ABC中,边AB上的高为CD,若CB=a,CA=b,ab=0,|a|=1,|b|=2,则AD=()A.13a-13bB.23a-23bC.35a-35bD.45a-45b答案D解析ab=0,CACB.|a|=1,|b|=2,AB=5.又CDAB,由射影定理,得AC2=ADAB.AD=45=455.ADAB=4555=45.AD=45AB=45(CB-CA)=45(a-b),故选D.7.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且ab,则|2a-b|a(a+b)等于()A.-53B.1C.2D.54答案B解析a=(m,2),b=(2,-1),且ab,ab=2m-2=0,解得m=1,a=(1,2),2a-b=(0,5),|2a-b|=5.又a+b=(3,1),a(a+b)=13+21=5,|2a-b|a(a+b)=55=1.8.设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析m,n为非零向量,若存在0,使m=n,即两向量反向,夹角是180,则mn=|m|n|cos180=-|m|n|0.反过来,若mn0,则两向量的夹角为(90,180,并不一定反向,即不一定存在负数,使得m=n,所以“存在负数,使得m=n”是“mn0),因为n(tm+n),所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos+|n|2=t3k4k13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.13.在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,P为矩形内一点,且AP=32.若AP=AB+AD(,R),则+3的最大值为()A.32B.62C.3+34D.6+324答案B解析因为AP=AB+AD,所以|AP|2=|AB+AD|2.所以322=2|AB|2+2|AD|2+2ABAD.因为AB=1,AD=3,ABAD,所以34=2+32.又34=2+3223,所以(+3)2=34+2334+34=32.所以+3的最大值为62,当且仅当=64,=24时等号成立.14.已知ABAC,|AB|=1t,|AC|=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PBPC的最大值等于()A.13B.15C.19D.21答案A解析以点A为原点,AB,AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(0,0),B1t,0,C(0,t),AB|AB|=(1,0),AC|AC|=(0,1),AP=AB|AB|+4AC|AC|=(1,0)+4(0,1)=(1,4),点P的坐标为(1,4),PB=1t-1,-4,PC=(-1,t-4),PBPC=1-1t-4t+16=-1t+4t+17-4+17=13.当且仅当1t=4t,即t=12时等号成立,PBPC的最大值为13.15.如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AEBE的最小值为()A.2116B.32C.2516D.3答案A解析如图,取AB的中点F,连接EF.AEBE=(AE+BE)2-(AE-BE)24=(2FE)2-AB24=|FE|2-14.当EFCD时,|EF|最小,即AEBE取最小值.过点A作AHEF于点H,由ADCD,EFCD,可得EH=AD=1,DAH=90.因为DAB=120,所以HAF=30.在RtAFH中,易知AF=12,HF=14,所以EF=EH+HF=1+14=54.所以(AEBE)min=542-14=2116.16.如图,在ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,APBP=2,则ABAD的值是.答案22解析CP=3PD,AP=AD+14AB,BP=AD-34AB.又AB=8,AD=5,APBP=AD+14ABAD-34AB=|AD|2-12ABAD-316|AB|2=25-12ABAD-12=2.ABAD=22.三、高考预测17.已知两个平面向量a,b满足|a|=1,|a-2b|=21,且a与b的夹角为120,则|b|=.答案2解析向量a,b满足|a|=1,|a-2b|=21,且a与b的夹角为120,(a-2b)2=a2-4ab+4b2=1-41|b|cos120+4|b|2=21,化简得2|b|2+|b|-10=0,解得|b|=2(负值舍去).8