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河北省武邑中学2018-2019学年高一数学上学期寒假作业6一、选择题1(5分)已知平面和直线l,则内至少有一条直线与l()A平行 B相交 C垂直 D异面2(5分)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为ABC的中心O,则AB1与底面ABC所成角的正弦值为()A B C D3(5分)如图,四边形ABCD中,ADBC,ADAB,BCD45,BAD90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC二、填空题。4.(5分)直线l与平面所成角为30,lA,m,Am,则m与l所成角的取值范围是_.5 (5分)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是棱AA1和AB上 的点,若B1MN是直角,则C1MN等于_.6 (5分)如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足_时,平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)三、解答题7(12分)(2014全国高考江苏卷)如图,在三棱锥PABC中,D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点,已知PAAC,PA6,BC8,DF5.求证:(1)直线PA面DEF;(2)平面BDE平面ABC8(12分)如下图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC3,BC4,AB5,AA14,点D是AB的中点(1)求证:ACBC1;(2)求证:AC1平面CDB1;(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值9(12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,ABAC2AA12,BAC120,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面 A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l平面ADD1A1;(2)设(1)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1QC1D的体积(锥体体积公式:VSh,其中S为底面面积,h为高)10(本小题满分12分)如下图所示,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,AB4,BC3,AD5,DABABC90,E是CD的中点(1)证明:CD平面PAE;(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥PABCD的体积11.(本小题满分12分)如图,三棱锥PABC中,PA平面ABC,PA1,AB1,AC2,BAC60,(1)求三棱锥PABC的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得ACBM,并求的值2018-2019学年高一寒假作业第6期答案1. 答案C解析1直线l与平面斜交时,在平面内不存在与l平行的直线,A错;2l时,在内不存在直线与l异面,D错;3l时,在内不存在直线与l相交无论哪种情形在平面内都有无数条直线与l垂直2. 答案B解析由题意知三棱锥A1ABC为正四面体,设棱长为a,则AB1a,棱柱的高A1Oa(即点B1到底面ABC的距离),故AB1与底面ABC所成角的正弦值为.3. 答案D解析由平面图形易知BDC90.平面ABD平面BCD,CDBD,CD平面ABDCDAB又ABAD,CDADD,AB平面ADC又AB平面ABC,平面ADC平面ABC4. 答案30,90解析直线l与平面所成的30的角为m与l所成角的最小值,当m在内适当旋转就可 以得到lm,即m与l所成角的最大值为90.5. 答案90解析因为C1B1平面ABB1A1,MN平面ABB1A1,所以C1B1MN.又因为MNMB1,MB1,C1B1平面C1MB1,MB1C1B1B1,所以MN平面C1MB1,所以MNC1M,所以C1MN90.6. 答案DMPC(或BMPC)解析连接AC,则BDAC,由PA底面ABCD,可知BDPA,BD平面PAC,BDPC故当DMPC(或BMPC)时,平面MBD平面PCD7. 证明(1)在PAC中,D、E分别为PC、AC中点,则PADE,PA面DEF,DE面DEF,因此PA面DEF.(2)DEF中,DEPA3,EFBC4,DF5,DF2DE2EF2,DEEF,又PAAC,DEAC DE面ABC,面BDE面ABC8. 解: (1)证明:在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面三边长AC3,BC4,AB5,ACBC又C1CACAC平面BCC1B1.BC1平面BCC1B,ACBC1.(2)证明:设CB1与C1B的交点为E,连接DE,又四边形BCC1B1为正方形D是AB的中点,E是BC1的中点,DEAC1.DE平面CDB1,AC1平面CDB1,AC1平面CDB1.(3)解:DEAC1,CED为AC1与B1C所成的角在CED中,EDAC1,CDAB,CECB12,cosCED.异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.9. 解: (1)在平面ABC内,过点P作直线l和BC平行理由如下:由于直线l不在平面A1BC内,lBC,故直线l与平面A1BC平行在ABC中,ABAC,D是线段AC的中点,ADBC,lAD又AA1底面ABC,AA1l.而AA1ADA,直线l平面ADD1A1.(2)过点D作DEAC于点E.侧棱AA1底面ABC,三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,则易得DE平面AA1C1C在RtACD中,AC2,CAD60,ADACcos601,DEADsin60.SQA1C1A1C1AA1211,三棱锥A1QC1D的体积VA1QC1DVDQA1C1SQA1C1DE1.10.解析(1)证明:如下图所示,连接AC,由AB4,BC3,ABC90,得AC5.又AD5,E是CD的中点,所以CDAE.PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD平面PAE.(2)过点B作BGCD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.由(1)CD平面PAE知,BG平面PAE.于是BPF为直线PB与平面PAE所成的角,且BGAE.由PA平面ABCD知,PBA为直线PB与平面ABCD所成的角由题意,知PBABPF,因为sinPBA,sinBPF,所以PABF.由DABABC90知,ADBC,又BGCD,所以四边形BCDG是平行四边形,故GDBC3.于是AG2.在RtBAG中,AB4,AG2,BGAF,所以BG2,BF.于是PABF.又梯形ABCD的面积为S(53)416,所以四棱锥PABCD的体积为VSPA16.11.解析(1)在ABC中,AB1,AC2,BAC60SABCABACsinBAC12sin60.又PA面ABC,PA是三棱锥PABC的高,V三棱锥PABCPASABC1.(2)过点B作BN垂直AC于点N,过N作NMPA交PC于M,则ACBM,此时M即为所找点,在ABN中,易知AN.- 8 -
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