引言,自回归条件异方差（ARCH）模型是由Robert Engle于1982年最早提出的，之后各国学者对ARCH模型进行各个方面的改进和扩展，出现了诸如GARCH、EARCH，ARCHM、EGARCH、GARCH-M等模型。 ARCH类模型因其良好的统计特性和对波动现象的准确描述，被广泛地应用于对经济类时间序列数据，如利率、外汇汇率、通货膨胀率等的回归分析及预测中。 2003年，Engle凭借此模型获得了诺贝尔经济学奖。 下面我们将详细介绍ARCH_GARCH模型在发展过程中的代表性文献及研究动态。,自ARCH模型始创以来，经历了两次突破。一次是广义ARCH（Generalized ARCH），也即GARCH模型的提出。从此以后，几乎所有的ARCH模型新成果都是在GARCH模型基础上得到的。第二次则是长记忆在经济学上的研究取得突破，与ARCH模型相结合所产生的一系列长记忆ARCH的研究从1996年至今方兴未艾。 我们将把介绍的重点放在ARCH模型早期阶段及第一次突破进展阶段。,一、早期ARCH模型族,传统的计量经济建模在经济结构的分析与预测时，主要是对一阶矩的条件均值建模, 如自回归模型： （1） 其中模型的误差序列 是一个均值为零的不相关序列，这里假定 具有恒定不变的条件方差，没有考虑到二阶矩的建模。 但是，收益率的波动性有聚集现象，而且许多资产收益率的边际分布具有尖峰厚尾性。,1、线性ARCH模型,Engle, R. F. (1982), “Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation,” Econometrica, 50, 987-1008 在这篇名为基于自回归条件异方差的英国通货膨胀率的方差估计的文章中，Engle创造性地提出以自回归条件异方差（ARCH）模型对时变的波动率进行建模，他用ARCH模型刻画英国通货膨胀率中存在的条件异方差，认为，条件异方差是外生变量、滞后的内生变量、时间、参数和前期残差的函数。,此文中，Engle的基本思想是模型（1）的残差序列 仍是常数，但是其条件方差具有时变性。该条件方差为 ，这里 为到 时刻过去信息的集合。用过去的局部方差 ， ，对条件方差 进行自回归建模： （2） 其中， ， 这里p 为模型的阶数。模型（2）就是Engle提出的ARCH模型，也叫做线性ARCH模型。其中误差项的条件方差是其过去误差平方的函数，从而可以反映出过去的波动对本期波动的影响。,ARCH模型突破了传统的异方差模型，能够更好地与实践相结合。但是它也存在一些缺陷，其中有一点是，在实际应用中，为了充分描述资产收益率的波动率过程，常常需要很大的阶数p，也即很多参数。这将大大增加估算量，还会带来如解释变量多重共线等其他一些问题。,2、ARCH-M模型,Engle, R.F., D.M. Lilien and R.P. Robins (1987), “Estimating Time Varying Risk Premia in the Term Structure: The ARCH-M model”, Econometrica, Vol.55, 391-407. ARCH-M模型由Engle、Lilien和Robins于1985年首先提出，1987年正式发表。 ARCH模型考虑了条件方差的时变性因素，用以分析波动性，而波动性的分析与风险是分不开的。于是，Engle等人进一步把条件方差可以作为随时间改变的风险度量这一重要用途纳入考虑范围，将风险与收益联系在一起，就提出了这一ARCH模型族的重要分支。,在文章中，Engle等把资产分为有风险资产和无风险资产两类， 风险由有风险资产的条件方差的函数来度量，风险规避者的出价会随风险的变化而变化，从而，均衡价格将决定于“均值-方差”之间的关系。模型的最简单形式可表示为： （4） 这里 表示某资产在时间t 的超额收益率， 是条件方差 的函数， 如（2）定义。他们将 取为 ， ，模型（4）与（2）一起构成 ARCH-in-Mean模型。把模型应用于美国国债分析，若将三个月期国债视为无风险资产，那么可以发现，六个月期国债的超额收益率显著地受风险项 的影响。,3、TARCH与NARCH,除了ARCH-M之外，ARCH还有两个较重要的形式，分别是TARCH和NARCH。TARCH(Thresold ARCH)模型考虑到了方差与扰动项的正负符号有关，NARCH则是一种重要的非线性ARCH模型，二者都针对性地解决了线性ARCH模型的某部分缺陷，比线性ARCH模型更先进。 在ARCH拓展为GARCH的阶段，它们也都对应有TGARCH和NGARCH形式。,二、GARCH模型的提出与发展,1、线性GARCH模型,Bollerslev, T. (1986), ”Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity,” Journal of Econometrics, 31, 307-27. 当人们发现ARCH模型无法表达“某些情形中自相关系数消退很慢”这一信息，而且在实际应用中对完全自由的滞后分布的估计常导致对非负约束的破坏时,GARCH模型应运而生。 GARCH模型认为，在一定时期内，误差项的方差不仅取决于误差项过去的方差，而且还取决于过去的误差项本身。,在这篇文章中，Bollerslev在（2）式的右边加了一个 的自回归项，这里（3）式可以被认为是ARMA思想对平方序列即 的应用： （3） 在实际应用中，常常只用到低阶的GARCH模型。 GARCH（1，1）最为流行，因为它只有三个待估参数，相对于之前Engle提出的经典ARCH模型，估算量大大减少。,GARCH更加简便，具有更强的应用性，开辟了ARCH模型族的新篇章.从这时起，大多数新涌现的ARCH模型多为GARCH型，即考虑了异方差本身的自回归。 ARCH模型中参数多，估计时比较困难，而GARCH模型在实际应用中可以很好地节约ARCH模型的参数。 GARCH模型提供了一个更加灵活的滞后结构，这补充了ARCH模型无法描述自相关系数消退速度慢的缺陷。 但是，GARCH模型仍存在局限性。,实证研究表明，收益率分布存在尖峰、厚尾性，且收益率残差对收益率存在非对称的影响。具体来看，当市场受到负冲击时，股价下跌，收益率的条件方差扩大，导致股价和收益率的波动性更大；反之，股价上升时，波动性减小。股价下跌导致公司的股票价值下降，如果假设公司价值不变，则公司的财务杠杆上升，持有股票的风险提高。因此负冲击对条件方差的这种影响又被称作杠杆效应。由于GARCH模型中，正的和负的冲击对条件方差的影响是对称的，因此GARCH模型不能刻画收益率条件方差波动的非对称性。 所以，非对称GARCH模型的出现十分必要。,2、E-GARCH模型,EGARCH model Nelson, D., (1991), “Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach.” Econometrica, 59:2, 347-370. EARCH模型的最大特点是采取条件方差对数的形式，它允许前期的残差平方和与条件方差的假设更加灵活。可以捕捉条件不对称的现象（如好消息与坏消息对市场波动具有不对称性）。,模型能写成： （7） 其中， （8） 等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。由等式右边可知，当 小于零时，大小相同、但正负方向相反的波动对未来条件方差增幅的影响存在非对称性。 模型的不足之处在于，新息由其条件标准偏差决定，因此波动持续性仅取决于 参数，所以波动源对可见变量的波动的效果很难得到解释。,其他,Engle和其合作者还对(G)ARCH模型进行了很多扩展，比如： Bollerslev和Engle(1986）提出了介于短记忆GARCH模型与长记忆GARCH模型之间的IGARCH(单位根GARCH)模型，并由此引出一阶矩中长记忆性概念在二阶矩中的映射。 Chou, R. F. (1988)构造出GARCH-M模型，对金融中证券的收益率依赖于其波动率的现象建模。 Bollerslev, Engle 和 Wooldridge在1988年构造了多变量的GARCH-M模型。 为了衡量收益率波动的非对称性，Glosten、Jagannathan与Runkel（1989）提出了GJR模型。,Engle等（1993）利用信息反应曲线分析比较了各种模型的杠杆效应，认为GJR模型最好地刻画了收益率的杠杆效应。 Glosten、Jagannathan与Runkel（1993）分析比较了各种GARCH-M模型，指出不同的模型设定会导致条件方差对收益率产生正或负的不同影响。 为了研究不同市场或资产间存在的波动溢出效应，单变量GARCH模型迅速向多元模型推广，用于研究多个收益率序列之间的波动相关性。Engle和Kroner(1995)提出了BEKK模型，Bollerslev, Engle与Wooldridge (1998)提出了VECH模型。,Engle(2002)在Bollerslev(1990)提出的常数条件相关模型(Constant conditional correlation, CCC)的基础上，提出了动态条件相关模型(Dynamic conditional correlation,DCC)，通过一个可变的条件相关系数来描述不同序列之间波动相关的时变性。该模型具有明显的计算优势，能够对大型相关系数矩阵进行估计。,而在我国，对GARCH模型族理论进行创新性研究的比较少，多侧重于应用。 以下仅举几例：杨兵、李维德(2001)考虑服从ARCH模型的风险资产定价，研究了投资者在具有二次效用函数下的最优投资组合问题。陈千里、周少甫(2002)应用GARCH类模型对上证指数收益的波动性进行了实证研究。黄后川、陈浪南(2003)研究了中国股市波动率不对称性和长期记忆特性。朱孔来(2005)运用TARCH模型分析了日收益率波动的条件异方差性和非对称性。梁浩怡、张世英(2006)对门限效应下的市场进行了协整分析。陈雄兵、张宗成(2008)利用修正的GARCH模型分析了中国股市收益率与波动的周内效应。王璐、庞皓(2009)引入MV-GARCH建立股市和债市的波动模型，对两市的波动溢出效应进行了研究。,在非对称性反转效应的研究上，林楚雄等(1999)在国内较早地将VS-ARCH模型应用于国内市场实证研究，该研究对台湾股票市场的实证结果验证了非对称性反转效应的存在。,参考文献,1 Engle, R. F., Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom InflationJ. Econometrica, 1982,50, 987-1008. 2 Engle, R.F., D.M. Lilien and R.P. Robins , Estimating Time Varying Risk Premia in the Term Structure: The ARCH-M modelJ. 1987,Vol.55, 391-407. 3 Bollerslev, T. Generaliz