会泽县茚旺高级中学2019年春季学期期中考试高一数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】因为，所以，由交集的定义可得，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.已知点，则直线的斜率是（ ）A. B. C. 5D. 1【答案】D【解析】【分析】根据直线的斜率公式，准确计算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据直线的斜率公式，可得直线的斜率，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.设函数，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数，求得函数的定义域，再得到，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，则满足，解得，则由，解得，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的求解，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据即可求出结果.【详解】据题意，得，所以.【点睛】本题考查圆的一般方程，属于基础题型.5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】第一次循环,a=2,i=2,第二次循环,a=5,i=3,第三次循环,a=16,i=4,第四次循环,a=65,i=5,此时满足条件,输出i=5,选C.6.已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，且为直角三角形，则圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设且，半径为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】依题意，圆经过点，可设且，半径为，则，解得，所以圆的方程为.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程的形式，以及合理应用圆的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7.直线被圆截得的弦长为（ ）A. 4B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由圆的一般方程写出圆心坐标，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线m的距离d，则弦长等于.【详解】，圆的圆心坐标为，半径为，又点到直线的距离，直线被圆截得的弦长等于.【点睛】本题主要考查圆的弦长公式的求法，常用方法有代数法和几何法；属于基础题型.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】从题设所提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是底面分别是矩形与梯形且等高的两个棱柱的组合体，应选答案C。9.在同一平面直角坐标系中，函数，（其中且）的图象只可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数的解析式即：，据此可得两函数互为反函数，函数图象关于直线对称.观察可得，只有B选项符合题意.本题选择B选项.10.与圆关于直线对称的圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设所求圆的圆心坐标为，列出方程组，求得圆心关于的对称点，即可求解所求圆的方程.【详解】由题意，圆的圆心坐标，设所求圆的圆心坐标为，则圆心关于的对称点，满足，解得，即所求圆的圆心坐标为，且半径与圆相等，所以所求圆的方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.定义在上的奇函数满足当时，.若关于的方程恰有两个实根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，求得函数的解析式，作出函数的图象，结合图象，即可求解实数的取值范围.【详解】由题意，定义在上的奇函数满足当时，可得，作出函数的图象，如图所示，由图象可得，当时，直线与图象由两个交点，即当时，方程恰有两个实根，故选A.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中把方程的根的个数问题转化为两个函数的图象的交点问题，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于基础题.12.在四棱锥中，底面，底面为正方形，异面直线与，与所成的角均为，记四棱锥与四棱锥的外接球的半径分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图所示,设底面正方形边长为1，则由异面直线与所成的角为，可知，又由与所成的角为，可得 ，则四棱锥的外接球的半径；四棱锥的外接球的半径故选B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数，则_.【答案】8【解析】【分析】根据对数的运算性质，代入即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，根据对数的运算性质，可得.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14.某人连续五周内收到的包裹数分别为3，2，5，1，4，则这5个数据的标准差为_.【答案】【解析】，故答案为.15.设偶函数定义域为，且，当时，图象如图所示，则不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】由为偶函数，结合图象，得到当时，当时，进而可求解不等式的解集.【详解】由题意知，函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，结合图象可得，当时，；当时，由，当时，得；当时，得，所以不等式的解集是.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数图象的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性，结合图象得出函数的性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.16.已知点在直线上，则的最小值为_【答案】3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果.【详解】可以理解为点到点的距离，又点在直线上，的最小值等于点到直线的距离，且.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在三棱锥中，平面，点，分别为，的中点.求证：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由点，分别为，中点，所以，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（2）由，点为中点，得，再由线垂直的性质，证得，最后利用线面垂直的判定定理，即可证得平面.【详解】（1）因为点，分别为，中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为，点为中点，所以.因为平面，平面，所以.又因为，所以平面.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定定定理和性质定理，以及几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题18.如图，在中，且边的中点在轴上，的中点在轴上.（1）求点的坐标；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）28.【解析】【分析】（1）根据中点公式，列出方程组，即可求解，得到答案.（2）求得直线的方程为，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由题意，设点，根据边的中点在轴上，的中点在轴上，根据中点公式，可得，解得，所以点的坐标是.（2）由题设，又由直线的方程为，故点到直线的距离，所以的面积.【点睛】本题主要考查了中点公式的应用，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中熟记中点公式，以及点到直线的距离公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.已知函数（，且）在上的最大值为2.（1）求的值；（2）若，求使得成立的的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质，分和两种情况讨论，结合对数的运算性质，即可求解；（2）由不等式，根据对数函数的性质，得到，根据对数的运算性质，即可求解.【详解】（1）由题意，当时，函数在上单调递增，因此，解得；当时，函数在上单调递减，因此，解得.综上可知：或.（2）由不等式，即，又，根据对数函数的性质，可得，即，解得.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20.已知点，圆.（1）求过点且与圆相切的直线方程；（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求实数的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r，直接求解圆的切线方程即可（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a即可【详解】（1）由圆的方程得到圆心，半径.当直线斜率不存时，直线与圆显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即，由题意得：，解得， 方程为，即.故过点且与圆相切的直线方程为或.（2） 弦长为，半径为2.圆心到直线的距离，解得.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力21.如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面）中，.（1）证明：平面；（2）若是的中点，在线段上是否存在一点使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，也请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）为的中点.【解析】【分析】（1）由几何体结构特征和线面垂直的判定定理，证得平面，得到，进而得到，再由四边形为正方形，所以，最后利用线面垂直的判定定理，即可证得平面.（2）取中点，分别连接，利用几何体的结构特征和线面平行的判定和性质，即可求解.【详解】（1）由题意，三棱柱为直三棱柱，所以，又因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为，所以，在中，所以，又因为，所以四边形为正方形，所以.因为，平面，平面，所以平面.（2）当点为的中点时，平面.证明如下：取的中点，分别连接，所以，分别为，中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，因为，分别是直三棱柱侧棱，的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面.又因为平面，所以平面.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线