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福建省莆田市第一中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题 理考试范围:必修5;考试时间:120分钟满分150分一、选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意)1.在等差数列an中,如果a1a240,a3a460,那么a7a8( )A.95B.100C.135D.80【答案】B【解析】由等差数列的性质可知,a1a2,a3a4,a5a6,a7a8构成新的等差数列,于是a7a8(a1a2)(41)(a3a4)(a1a2)40320100.选B.2.已知等差数列an中,a2+a8=16,a4=1,则a6的值为( )A.15B.17C.22D.64【答案】A【解析】等差数列an中,a2+a8=16=2a5,即a5=8,又a4=1,故d=7,从而a6=a4+2d=15.故答案为:A.3.设数列an的通项公式为an=n2+bn,若数列an是单调递增数列,则实数b的取值范围为( )A.1,+)B.-2,+)C.(-3,+)D.(-,+)【答案】C【解析】因该函数的对称轴,结合二次函数的图象可知当,即时,单调递增,应选C.考点:数列的单调性等有关知识的综合运用.【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,借助二次函数的对称轴进行数形结合,合理准确地建立不等式是解答好本题的关键.求解时很多学生可能会出现将对称轴放在的左边而得,而得的答案.这是极其容易出现的错误之一.4.下列命题中正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】C【解析】A,当c=0时,故不正确;B,若则,则举例说明:a=3,b=2,c=-1,d=-2,则,故选项不正确。D,若,则有故不正确;故选C;5.已知数列为等比数列,且首项,公比,则数列的前10项的和为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】数列代表奇数项的和,已知数列为等比数列,故奇数项也是等比数列,公比为4,首项为1,每项和为:故答案为:D.6.已知数列满足,且,则( )A.B.11C.12D.23【答案】B【解析】数列满足,且,根据递推公式得到故答案为:B.7.已知等差数列的公差若则该数列的前项和的最大值为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】由得故,当n=9或n=10时,的最大值为或,.【考点】等差数列性质及有关计算8.数列an中,a1=0,an+1-an=,an=9,则n=( )A.97B.98C.99D.100【答案】D【解析】由an+1-an=-,所以an=(-1)+(-)+(-)=-1=9,所以n=100,故选D.考点:数列求和.9.若关于x的不等式x2+ax-20在区间1,5上有解,则a的取值范围是()A.(-,+)B.-,1C.(1,+)D.(-,【答案】A【解一】令f(x)=x2+ax-2,则f(0)=-20在区间x1,5上有解须且只需f(5)0,即25+5a-20,即a的取值范围是(-,+).本题选择A选项.【解二】因为x2+ax-20在区间x1,5上有解,所以不等式ax2-x2,即a-x在区间x1,5上有解,令y=-x,x1,5,则aymin,即a-所以a的取值范围是(-,+).本题选择A选项.【解三】假设“关于x的不等式x2+ax-20在区间1,5上无解”即关于x的不等式x2+ax-20在区间1,5恒成立,令f(x)=x2+ax-2,则f(0)=-2-时,关于x的不等式x2+ax-20在区间1,5上无解所以a的取值范围是(-,+).本题选择A选项.10.已知数列满足,是等差数列,则数列的前10项的和( )A.220B.110C.99D.55【答案】B【解析】设等差数列的公差为,则,将已知值和等量关系代入,计算得,所以,所以,选B.点睛:本题主要考查求数列通项公式和裂项相消法求和,属于中档题。本题的关键是求出数列的通项公式。11.等比数列的前项和(为常数),若恒成立,则实数的最大值是( )A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由题意可知且,可得,化简为,由于均值不等式等号不成立,所以由钩型函数可知,当n=1时,.选C.【点睛】等比数列,当,对于恒成立,我们常用分离参数的方法,但是要注意用均值不等式时要对等号进行判定.12.下列说法正确的是( )A.y=sinx+,x没有最小值B.当0时,x(32x)()2恒成立C.已知0x4.5,则当x2=92x时,x2(92x)的值最大D.当1x10时,y=lgx的最小值为2【答案】B【解析】解:由x,0sin1,令sinx=t,t(0,1,则f(t)=t+,t(0,1,易得f(t)单调递减,当t=1时取最小值,最小值为3,y=sinx+,x,有最小值为3,故A错误;由0x,则32x0,x(32x)()2,恒成立,故B正确;0x4.5,则92x0,x2(92x)=xx(92x)()3=27.当且仅当x=92x,即x=3取等号,当x2(92x)取得最大值27时,故C错误;当1x10时,0lgx1,y=lgx2=2,当且仅当lgx=,即x=10时,取最小值,故D错误,故选B.二、填空题(本大题共有4个小题,每题3分,共12分)13.等比数列的前项和为,已知,则_.【答案】【解析】14.数列an满足,a2020=3,则a3=_.【答案】【解析】因为an+1=,所以an=1-,因为a2020=3,所以a2019=,a2018=-,a2017=3,所以该数列以3为周期呈现,若把数列a1, a2, a3,a2020倒置成新数列bn,则b1=a2020,b2=a2019,a9=b2012=b3670+2=b2=.15.若x,y满足约束条件,则的最小值为_【答案】-5【解析】由约束条件作出可行域如图,联立,解得,化目标函数为,由图可知,当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最小值为,故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.16.设数列的前项和为,已知,则_【答案】240【解析】由,当为奇数时,有;当为偶数时,数列的偶数项构成以为首项,以为公差的等差数列,则,故答案为.【方法点晴】本题主要考查数列的递推公式和利用“分组求和法”求数列前项和,属于中档题.利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种:一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差,可以分别用等比数列求和后再相加减;二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差,可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.)17.(本小题12分)在等差数列中,求数列的通项公式;设数列是首项为,公比为的等比数列,求的前项和【答案】(1)(2)当时,,当时,.试题分析:(1)设等差数列的公差是,由已知求出首项与公差,即可求出数列的通项公式;(2)由数列是首项为,公比为的等比数列,结合(1)的结果,求出的通项公式,再利用等差数列与等比数列的前项和公式求解即可.试题解析:设等差数列的公差是.由已知,得,数列的通项公式为由数列是首项为,公比为的等比数列,当时,当时,.【考点】等差等比数列.18.(本小题12分)已知等比数列满足,数列的前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)数列的通项公式为,求数列的前项和.19.(本小题12分)如图所示,在四边形中,,且求的面积;若,求的长.【答案】(1)(2)8试题分析:(1)己知,且,再由三角形面积公式,可解。(2)在中,由角D的余弦定理可求得AC=,在中,由角B的余弦定理可求得AB长。试题解析:由余弦定理知,20.(本小题10分)本公司计划2018年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?【答案】该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.试题分析:先根据题意列约束条件以及目标函数,再作可行域,根据目标函数线平移确定最大值取法,最后利用解方程组得最优解.试题解析:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟,总收益为元,由题意得目标函数为.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.如图:作直线,即.平移直线,从图中可知,当直线过点时,目标函数取得最大值.联立解得.点的坐标为.(元).答:该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.21.(本小题12分)已知函数的最低点为.(1)求不等式的解集;(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】 (1)(2)试题分析:(1)根据函数的最低点为,得到对称轴与最小值,列方程组求出,即可求得函数解析式,然后利用一元二次不等式的解法求解即可;(2)由由,可得,分别求出与的最大值与最小值,利用不等式恒成立可得结果.试题解析:(1)依题意,得,由解得,.则原不等式可化为,解得或.故不等式的解集为.(2)由,得,即,则,即.,的最小值是.的最大值是.,即.故实数的取值范围是.22.(本小题12分)在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若,求的最大值.【答案】(1)(2)时,取最大值试题分析:(1)由,根据正弦定理可得,再由余弦定理可得,从而可得结果;(2)根据正弦定理可得,利用三角函数的有界性可得结果.试题解析:(1)在中,由以及正弦定理得.,.,.(2),由正弦定理得,.又,时,取最大值.- 13 -
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