第六节 简单的三角恒等变换,1.公式的常见变形,2.辅助角公式,教材研读,考点一 三角函数式的化简,考点二 三角函数的求值,考点突破,考点三 三角恒等变换的综合应用,1.公式的常见变形 (1)1+cos = 2cos2 ;1-cos = 2sin2 ; (2)1+sin = ;,教材研读,1-sin = .,2.辅助角公式 asin x+bcos x= sin(x+), 其中sin = ,cos = .,1.(教材习题改编)函数y= cos x- sin x的最大值为 .,答案 1,解析 y= cos x- sin x=cos 的最大值是1.,2.(2018江苏南通中学期中)已知 ,cos =- ,则tan = .,答案,解析 ,cos =- ,sin =- =- ,tan = , 则tan = = = .,3.(教材习题改编)若(tan +1)(tan +1)=2,则+= .,答案 +k,kZ,解析 由(tan +1)(tan +1)=2可得, tan +tan =1-tan tan ,则tan(+)= =1,则+= +k,kZ.,4.(2019江苏无锡高三模拟)已知sin2x+2sin xcos x-3cos2x=0,则cos 2x= .,答案 - 或0,解析 sin2x+2sin xcos x-3cos2x= = =0, tan x=-3或tan x=1, 当tan x=-3时,cos 2x= = =- , 当tan x=1时,cos 2x= = =0.,5.(教材习题改编)若tan ,tan 是方程3x2+5x-7=0的两根,则cos2(+)= .,答案,解析 由题意可得tan +tan =- ,tan tan =- ,则tan(+)= = =- ,则cos2(+)= = = .,考点一 三角函数式的化简 典例1 化简: (1) -2cos(+); (2) (0).,考点突破,解析 (1)原式= = = = = = .,(2)原式= =cos = . 00,原式=-cos .,1.三角函数式的化简要遵循的“三看”原则,方法技巧,2.三角函数式化简的方法 化简三角函数式的常见方法有弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂 与升幂互化. 在三角函数式的化简中,“次降角升”和“次升角降”是基本的规律.,1-1 化简: .,解析 原式= = =- =-tan(-).,典例2 (1)(2018江苏镇江期末)求值: = . (2)(2019南通模拟)求值: = .,考点二 三角函数的求值 角度一 给角求值,答案 (1)-4 (2),解析 (1)原式= = = =-4 . (2)原式= = = = .,方法技巧 解决给角求值问题的关键是两种变换:一是角的变换,注意各角之间是 否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系,再选择相应公式把非特殊 角转化为特殊角;二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特 征的基础上,结合所求式子的特点合理进行变形.,典例3 (1)(2019江苏南通启东中学高三模拟)设为锐角,若cos = ,则sin = . (2)(2018江苏镇江期中)设 ,且cos = ,则sin = . .,角度二 给值求值,答案 (1) (2),解析 (1)因为为锐角,cos = , 所以sin = ,所以cos =cos =cos cos +sin sin = + = . sin =sin =sin cos -cos sin = - = . 由此可得sin 2=2sin cos = ,cos 2=cos2-sin2= . 又sin = ,cos = , 所以sin =sin 2cos +cos 2sin = + = . (2)由 ,知+ , 所以sin 0,又cos = ,故sin = = = , 所以sin =2sin cos =2 = ,cos =2cos2 -1=2 -1=- , 则sin =sin =sin cos -cos sin = - = .,方法技巧 解决三角函数的给值求值问题,关键是将待求角用已知角表示.,典例4 (2018南京高三第三次模拟)在平面直角坐标系xOy中,锐角,的 顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴,终边与单位圆O的交点分别为P, Q.已知点P的横坐标为 ,点Q的纵坐标为 . (1)求cos 2的值; (2)求2-的值.,角度三 给值求角,解析 (1)因为锐角的终边与单位圆O交于P,点P的横坐标为 ,所以 cos = ,所以cos 2=2cos2-1= . (2)因为锐角的终边与单位圆O交于点Q,点Q的纵坐标为 ,所以sin = ,所以cos = . 由(1)可求得sin = ,因此sin 2=2sin cos = , 所以sin(2-)= - = .,因为为锐角,所以00,所以02 , 又为锐角,所以- 2- ,所以2-= .,正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,),选余弦函数;若角的范围是 ,选正弦函数.,方法技巧 “给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函 数值来求角(注意角的范围),在选取函数时,遵循以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数. (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是 ,选,2-1 (2018江苏南通启东中学月考)设为锐角,若cos = ,则 sin 的值为 .,答案,解析 因为为锐角,所以+ , 所以sin = = , 所以sin =sin =sin cos -cos sin = - = .,2-2 (2018江苏常州月考)若,均为钝角,且sin = ,cos =- ,则+ 的值为 .,答案,解析 ,为钝角,且sin = ,cos =- , cos =- =- ,sin = = , cos(+)=cos cos -sin sin = - = . 又 , , +2,+= .,典例5 (2019江苏高考数学模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,角的 顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且 . 将角的终边按逆时针方向旋转 ,交单位圆于点B,记A(x1,y1),B(x2,y2). (1)若x1= ,求x2的值; (2)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D,记AOC的面积为S1, BOD的面积为S2,若S1=2S2,求角的值.,考点三 三角恒等变换的综合应用,解析 (1)由三角函数定义得,x1=cos ,x2=cos , 因为 ,cos = ,所以sin = , 所以x2=cos = cos - sin = - = . (2)依题意得,y1=sin ,y2=sin , 所以S1= x1y1= cos sin = sin 2, S2= |x2|y2= =- sin ,依题意得,sin 2=-2sin ,化简得cos 2=0, 因为 ,所以 2,所以2= ,即= . 规律总结 三角恒等变换与点的坐标的求解、研究三角函数的性质经常综合在一 起,求点的坐标可以利用三角函数定义,结合三角公式求解;研究三角函 数的性质时,一般先根据三角公式化简解析式,再结合三角函数图象求 解.,3-1 (2018扬州高三调研)下图是函数f(x)=Asin(x+) 在一个周期内的图象,已知点P(-6,0),Q(-2,-3),Q是图 象上的最低点,R是图象上的最高点. (1)求函数f(x)的解析式; (2)记RPO=,QPO=(,均为 锐角),求tan(2+)的值.,解析 (1)因为图象在一个周期内的最低点为Q(-2,-3),且图象与x轴的一 个交点为P(-6,0), 所以A=3,T=4(-2+6)=16, 又T= ,所以= ,所以f(x)=3sin . 将点Q(-2,-3)代入f(x)的解析式,得-3=3sin , 所以- +=- +2k,kZ,所以=- +2k,kZ, 又| ,所以=- ,所以f(x)=3sin .,(2)点R的横坐标xR=xQ+ T=-2+8=6,所以R(6,3). 因为,均为锐角,所以tan = ,tan = , 所以tan 2= = , 所以tan(2+)= = .,