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阶段质量检测(二) 数列(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1等比数列an的公比q,a1,则数列an是()A递增数列B递减数列C常数数列 D摆动数列解析:选D因为等比数列an的公比为q,a1,故a20,所以数列an是摆动数列2若互不相等的实数a,b,c成等差数列,a是b,c的等比中项,且a3bc10,则a的值是()A1 B1C3 D4解析:选D由题意,得解得a4,b2,c8.3在数列an中,a1,an(1)n2an1(n2),则a5等于()A B.C D.解析:选Ba1,an(1)n2an1,a2(1)22,a3(1)32,a4(1)42,a5(1)52.4在等比数列an中,已知前n项和Sn5n1a,则a的值为()A1 B1C5 D5解析:选D因为Sn5n1a55na,由等比数列的前n项和Snqn,可知其常数项与qn的系数互为相反数,所以a5.5已知数列an满足a11,an1则254是该数列的()A第8项 B第10项C第12项 D第14项解析:选D当n为正奇数时,an12an,则a22a12,当n为正偶数时,an1an1,得a33,依次类推得a46,a57,a614,a715,归纳可得数列an的通项公式an则22254,n14,故选D.6已知数列an是等差数列,其前n项和为Sn,若a1a2a315,且,则a2()A2 B.C3 D.解析:选CS1a1,S33a2,S55a3,a1a2a315,a23.故选C.7如果数列a1,a2a1,a3a2,anan1,是首项为1、公比为的等比数列,那么an()A. B.C. D.解析:选A由题知a11,q,则anan11n1.设数列a1,a2a1,anan1的前n项和为Sn,Sna1(a2a1)(a3a2)(anan1)an.又Sn,an.8设Sn为等差数列an的前n项和,a12 014,2,则S2 016的值为()A2 016 B2 016C2 015 D2 015解析:选B因为Sn为等差数列an的前n项和,所以数列是等差数列设数列的公差为d,则由2,得2d2,解得d1,所以2 015da12 015d2 0142 0151,所以S2 0162 016.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分把答案填在题中横线上)9已知an是等差数列,Sn为其前n项和,nN*.若a316,S2020,则a1_,d_,S10_.解析:由已知得,解得a120,d2,S101020(2)110.答案:20211010(浙江高考)设数列an的前n项和为Sn.若S24,an12Sn1,nN*,则a1_,S5_.解析:an12Sn1,Sn1Sn2Sn1,Sn13Sn1,Sn13,数列是公比为3的等比数列,3.又S24,S11,a11,S53434,S5121.答案:112111已知数列an的通项公式为an2 0153n,则使an0成立的最大正整数n的值为_解析:由an2 0153n0,得n671,又nN*,n的最大值为671.答案:67112某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN*)等于_解析:每天植树的棵数构成以2为首项,2为公比的等比数列,其前n项和Sn2n12.由2n12100,得2n1102.由于2664,27128,则n17,即n6.答案:613已知数列an满足an1an2n(nN*),a13,则an_,的最小值为_解析:an1an2n,a2a121,a3a222,a4a323,anan12(n1),以上各式相加可得ana122n2n,a13,ann2n3.n1.f(x)x在(0,)上单调递减,在(,)上单调递增,又113,21,所以的最小值为.答案:n2n314已知等差数列an,bn的前n项和分别为An,Bn,且满足,则_.解析:根据题意,由,可设:An2n2,Bnn(n3),则:a1A12, 当n2时,anAnAn14n2,b1B14,当n2时,bnBnBn12n2,.答案:15定义函数f(x)xx,其中x表示不小于x的最小整数,如1.22,2.62.当x(0,n(nN*)时,函数f(x)的值域记为An,记An中元素的个数为an,则an_,_.解析:当x(0,1时,x1,xxx,则f(x)xx1,即A11,故a11;当x(0,2时,x1,2,xxx或2x,则f(x)xx1,3,4,即A21,3,4,故a23;当x(0,3时,x1,2,3,xxx或2x或3x,则f(x)xx1,3,4,7,8,9,即A31,3,4,7,8,9,故a36;同理可得a410,注意到an,所以.答案:三、解答题(本大题共5小题,共74分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16(14分)已知函数f(x),数列xn的通项由xnf(xn1)(n2且xN*)确定(1)求证:是等差数列;(2)当x1时,求x2 016.解:(1)证明:xnf(xn1)(n2且nN*),(n2且nN*),是等差数列(2)由(1)知(n1)2.x2 016.17(15分)在ABC中,若lg sin A,lg sin B,lg sin C成等差数列,且三个内角A,B,C也成等差数列,试判断此三角形的形状解:A,B,C成等差数列,2BAC.又ABC,3B,即B,AC.lg sin A,lg sin B,lg sin C成等差数列,2lg sin Blg sin Alg sin C,即sin2Bsin Asin C.又B,sin B.sin Asin Csin2B.又cos(AC)cos Acos Csin Asin C,cos(AC)cos Acos Csin Asin C,sin Asin Ccos(AC)cos(AC).cos(AC),cos(AC)1.AC(,),AC0,即AC.ABC.ABC是等边三角形18(15分)已知等比数列an的前n项和为Sn,a11,anan1,且S32S21.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn(2n1)an(nN*),求数列bn的前n项和Tn.解:(1)设等比数列an的公比为q,由an1,又a11,则a2q,a3q2,因为S32S21,所以a1a2a32(a1a2)1,则1qq22(1q)1,即q2q20,解得q2或q1(舍去),所以数列an的通项公式为an2n1(nN*)(2)由(1)知,bn(2n1)an(2n1)2n1(nN*),则Tn120321522(2n1)2n1,2Tn121322523(2n3)2n1(2n1)2n,两式相减,得Tn122122222n1(2n1)2n,即Tn12223242n(2n1)2n,化简得Tn(2n3)2n3.19(15分)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S1055,S20210.(1)求数列an的通项公式(2)设bn,是否存在m,k(km2,m,kN*)使得b1,bm,bk成等比数列?若存在,请说明理由解:(1)设等差数列an的公差为d,则Snna1d.由已知,得即解得所以ana1(n1)dn(nN*)(2)假设存在m,k(km2,m,kN*)使得b1,bm,bk成等比数列,则bb1bk.因为bn,所以b1,bm,bk,所以2.整理,得k.以下给出求m,k的方法:因为k0,所以m22m10,解得1m1, 当n2时,cn为递增数列,cnc2,t的取值范围为.法二:tan1(an1)10对任意n2的整数恒成立,即t10恒成立,t对任意n2的整数恒成立令n1m,t2m4,令f(m)2m4,2m2,mN*,f(m)在单调递增,tf(m)minf(1),t的取值范围为.8
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