第 6 章 统计量及其抽样分布,6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5 样本比例的抽样分布 6.6 两个样本平均值之差的分布 6.7 关于样本方差的分布,第 6 章 统计量及其抽样分布,6.1 统计量,6.1.1 统计量的概念 6.1.2 常用统计量 6.1.3 次序统计量 6.1.4 充分统计量,6.1.1 统计量的概念,在实际应用中，当我们从总体中抽取一个样本,后，并不能直接应用它去对,总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。为了使统计推断成为可能，需要把分散的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数，这种函数在统计学中称为统计量。,1. 构造统计量的原因：,6.1.1 统计量的概念,容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个,2. 统计量的定义：,统计量(或样本统计量)。,代入T计算的数值称为一个具体的统计量值。,统计量概念的例题,【例6.1】设,解：,一个样本，判断下列各量是否为统计量。,是从某总体X中抽取的,(1)(2)是统计量，(3)(4)不是统计量，,因为(3)(4)依赖总体分布的未知参数。,6.1.2 常用统计量,(1)由于数学期望和方差等概念用“矩”来描述,1. 常用统计量的构造：,(2)当n充分大时，经验分布函数 靠近总体分布函数 。,2. 常用的统计量：,是样本的均值，反映总体期望的信息,是样本方差，反映总体方差,的信息。样本标准差S也是常用的统计量。,6.1.2 常用统计量,是样本变异系数，反映总体变异系数C,它反映了随机变量在以它的均值为单位时，取 值的离散程度。此统计量取消了均值不同对不 同总体的离散程度的影响，常用来刻画均值不 同时，不同总体的离散程度。在投资项目的风. 险分析中、不同群体或行业的收入差距描述中 有广泛的应用。,的信息。其中总体变异系数定义为,6.1.2 常用统计量,称 为样本 阶矩，反映总体,阶矩的信息。,，称为样本 阶中心矩。,反映出总体 阶中心矩的信息。,6.1.2 常用统计量,，称 为样本偏度。,反映出总体偏度的信息。偏度反映了随机变量 密度函数曲线在众数(密度函数在这一点达到最 大值)两边的对称偏斜性。,6.1.2 常用统计量,，称 为样本峰度。,它反映出总体峰度的信息。峰度反映随机变量 密度函数曲线在众数附近的“峰”的尖峭程度。,6.1.3 次序统计量,分别为最小和最大次序统计量。,称为样本极差。,6.1.4 充分统计量,充分统计量是指统计量的加工过程中一点信息都不损失的统计量。,【例6.2】某电子元件厂欲了解其产品的不合格率p，质检员抽检了100个电子元件，检查结果是，除前3个是不合格品(记为 )外，其他都是合格品(记为 )。当企业领导问及抽检结果时，质检员给出如下两种回答：,(1)抽检的100个元件中有3个不合格,(2)抽检的100个元件中前3个不合格,解：,T1为充分统计量。,6.1.4 充分统计量,的一个样本时，,6.2 关于分布的几个概念,6.2.1 抽样分布 6.2.2 渐近分布 6.2.3 随机模拟获得的近似分布,6.2.1 抽样分布,1. 英国统计学家费希尔曾把抽样分布、参数估计和假设检验看做统计推断的三个中心内容。,2. 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质。,3. 在总体X的分布类型已知时，若对任一自然数n，都能导出统计量 的分布的数学表达式，这种分布称为精确的抽样分布。它对样本容量较小时的统计推断十分有用.,4. 正态条件下，主要有 分布、t分布、F分布。,6.2.2 渐近分布,1. 抽样分布理论中，至今已求出的精确抽样分布并不多。,2. 通常，抽样分布很难求得，有时尽管求出了精确抽样分布，但因为过于复杂而难以使用。,3. 实用中，当n无限增大时，常用统计量的极限分布作为抽样分布的一种近似，这种极限分布常称为渐近分布。,6.2.3 随机模拟获得的近似分布,因为在实际应用中，有许多问题要寻求它的精确分布和渐近分布都是非常困难的，而在计算机飞速发展的今天，利用计算机进行随机模拟来获得某种统计量的近似分布已十分容易。因此，随机模拟方法寻求统计量的分布已被普遍使用。通常，抽样分布很难求得，有时尽管求出了精确抽样分布，但因为过于复杂而难以使用。,6.2.3 随机模拟获得的近似分布,基本思想：,每次试验都是从总体中随机抽取容量为n的样本，然后,计算其统计量的值。当这种试验进行了N次时，就得到,这种寻求统计量的方法就是反复地从总体中抽样，这种,抽样完全可由计算机来实现。由此得到的统计量分布。,就是随机模拟法所获得的近似分布。,6.3由正态分布导出的几个重要分布,6.3.1 分布 6.3.2 t分布 6.3.3 F分布,6.3.1 分布,海尔墨特(Hermert)和卡皮尔逊(K.Pearson)分别,于1875年和1900年推导出来的。,为独立变量的个数，还可以解释为二次型的秩。,6.3.1 分布,n=1,图6-1 分布的概率密度函数曲线,n=4,n=10,n=20,6.3.1 分布,(1) 分布的变量值始终为正的；,(2) 分布的形状取决于自由度n的大小，通常为,不对称分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称，,(3) 数学期望和方差分别为,则,6.3.1 分布,7.,临界值表。,Excel操作,6.3.1 分布,实际上，当n45时，,由于,标准化后,查标准正态分布p分位数表,则,6.3.2 t分布,记为t(n)，其中n为自由度。,提出的。,1908年在一篇以“Student”为笔名的论文中首次,6.3.2 t分布,图6-2 t分布的概率密度函数曲线,N(0，1),t(13),t(4),6.3.2 t分布,N(0，1),t(13),利用Excel提供的统计函数TINV可构建t分布的,临界值表。,Excel操作,6.3.2 t分布,(1) t分布的密度函数与标准正态分布N(0，1)的,(2) t(n)的密度函数的两侧都按t-(n+1)的速度趋向,密度函数非常近似，都是单峰偶函数；,于零，这比负指数函数趋向于零的速度要慢,一些，故 t(n)的密度函数在两侧尾部都要比,N(0，1)的两侧尾部粗一些；,(3) t分布的数学期望为：,方差为：,，显然比N(0，1)大；,6.3.2 t分布,(4) 自由度为1的分布称为柯西分布，随着自由度,增大，t分布的密度函数愈来愈接近正态分布的,密度函数。,标准正态分布就非常接近；,(6) t分布一般用于小样本问题。,6.3.2 t分布,6. 与t分布有关的两个抽样分布：,的一个样本，,称为服从自由度为n-1的t分布。,则,6.3.2 t分布,记：,是来自X的一个,则,6.3.2 t分布,则,注：由于,故,6.3.3 F分布,则称X服从第一自由度为m，第二自由度为n的,有如下表达式：,显著性检验中都有着重要的地位。,有着广泛的应用，如在方差分析、回归方程的,F分布，记为F(m，n)，简记为,6.3.3 F分布,图6-3 F分布的概率密度函数曲线,F(1，10),F(5，10),F(10，10),6.3.3 F分布,利用Excel提供的统计函数FINV可构建F分布的,临界值表。,Excel操作,6.3.3 F分布,方差：,(1) 设随机变量X服从,则数学期望：,且,(3) F分布与t分布的关系,密度函数,t(n)分布的概率密度函数,F(n1 ,n2)分布的概率密度函数,积分,正态分布密度函数,6.4样本均值的分布与中心极限定理,6.4.1 样本均值的分布 6.4.2 中心极限定理,6.4.1 样本均值的分布,的随机变量。,由于正态分布是最常见的分布之一，所以主要介绍即,的分布。,的抽样分布仍为正态分布，即,6.4.1 样本均值的分布,4. 实际应用中，总体的分布并不总是正态分布或近似,但由中心极限定理知道，不管总体的分布是什么，,6.4.1 样本均值的分布,6. 由图形来观察：,总体分布,抽样分布,当样本容量足够大时(n 30) ，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布,一个任意分布的总体,6.4.2 中心极限定理,6.4.2 中心极限定理 抽样分布趋于正态分布的过程,6.4.2 中心极限定理,2.实际应用中，由于总体的分布未知，我们常要求n30。,注：,1.中心极限定理要求n充分大，那么多大叫充分大呢？这与总体的分布形状有关。总体偏离正态越远，则要求n越大。,3.大样本与小样本问题。在样本量固定的条件下进行的统计推断、问题分析，都称为小样本问题；而在样本量n的条件下进行的统计推断、问题分析则称为大样本问题。一般统计学中的n30为大样本，n30为小样本只是一种经验说法。,例题讲解,【例6.4】,解：,解：,例题讲解,解：,例题讲解,【例6.5】,解：,例题讲解,解：,抽样分布与总体分布的关系,总体分布,抽样分布,大样本,小样本,任何样本,正态分布,非正态分布,正态分布,非正态分布,6.5 样本比例的抽样分布,1.总体(或样本)中具有某种特征的个体个数与全部个数之比，称为比例。 例如：不同性别的人与全部人数之比。,3.由二项分布的原理和渐近分布的理论可知，,所以样本比例的分布：,6.5 样本比例的抽样分布,期望与方差的线性运算与性质：,样本比例的例题,【例6.6】,解：,样本比例的例题,【例6.7】,解：,6.6.1 两个样本平均值之差的分布,1.,两个样本均值之差的例题,【例6.8】,解：,6.6.2 两个样本比例之差的分布,两个样本比例之差的例题,【例6.9】,解：,6.7.1 样本方差的分布,6.7.2 两个样本方差比的分布,【习题1】,解：,【习题2】,解：,【习题3】,解：,【习题4】,解：,