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第20课时平面向量基本定理对应学生用书P59知识点一基底的概念1下面三种说法中,正确的是()一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;零向量不可作为基底中的向量A BC D答案B解析只要平面内一对向量不共线,就可以作为该平面向量的一组基底,故不正确,正确;因为零向量与任意一个向量平行,所以正确,故选B2已知e1与e2不共线,ae12e2,be1e2,且a与b是一组基底,则实数的取值范围是_答案解析考虑向量a,b共线,则有,故当时,向量a,b不共线,可作为一组基底知识点二向量夹角的概念3已知|a|b|3,且a与b的夹角为80,则ab与ab的夹角是_答案90解析如图,作向量a,b,以OA,OB为邻边作平行四边形,则四边形OACB为菱形ab,ab,ab与ab的夹角为904在RtABC中,ABC90,|,|1,则与的夹角_答案120解析在RtABC中,ABC90,AB,CB1,所以tanACB,所以ACB60,即与的夹角为60,所以与的夹角为120知识点三用基底表示向量5已知平行四边形ABCD中,E为CD的中点,y,x,其中x,yR,且均不为0若,则_答案解析因为xy,由,可设,即xy(),所以则6已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a3e12e2,b2e1e2,c7e14e2,试用向量a和b表示c解因为a,b不共线,所以可设cxayb则xaybx(3e12e2)y(2e1e2)(3x2y)e1(2xy)e27e14e2又因为e1,e2不共线,所以,解得,所以ca2b7在ABCD中,设a,b,试用a,b表示,解解法一:(转化法)如图,设AC,BD交于点O,则有a,bab,ab解法二:(方程思想)设x,y,则有,且y,即xab,yab,即ab,ab8如图所示,已知E,F分别是矩形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点G,若a,b,用a,b表示解易知,设,则由平行四边形法则,得()22由于E,G,F三点共线,则221,故从而,(ab)对应学生用书P60一、选择题1在ABC中,点D在BC边上,且2,设a,b,则可用基底a,b表示为()A(ab) BabCab D(ab)答案C解析因为2,所以所以()ab2如果a与b是一组基底,则下列不能作为基底的是()Aab与ab Ba2b与2abCab与ab Da与b答案C解析由已知,a与b不共线,根据平行四边形法则,可知A,B,D选项中的两个向量都可以作为基底,而ab与ab共线,不能作为基底3若a,b,(1),则等于()Aab Ba(1)bCab Dab答案D解析,(),(1),ab故选D4已知|a|1,|b|2,cab,ca,则a与b的夹角为()A B C D答案D解析如图所示,cab,ca,a,b,c的模构成一个直角三角形,且,所以a与b的夹角为5如图,在四边形ABCD中,E为BC的中点,且xy,则3x2y()A B C1 D2答案C解析由题意,得()xy,xy与不共线,由平面向量基本定理,得3x2y321故选C二、填空题6如图,在平行四边形ABCD中,a,b,M是DC的中点,以a,b为基底表示向量,则_答案ba解析ba7已知A,B,C为圆O上的三点,若(),则与的夹角为_答案90解析(),O为BC的中点则BC是O的直径,BAC90故与的夹角为908如图,在ABC中,P是BN上的一点,若m,则实数m的值为_答案解析设k,则kk()k(1k),又m,所以1km,解得k,m三、解答题9如图所示,已知AOB中,点C是以A为中点的点B的对称点,2,DC和OA交于点E,设a,b(1)用a和b表示向量,;(2)若,求实数的值解(1)由题意,A是BC的中点,且,由平行四边形法则,222ab,(2ab)b2ab(2)又(2ab)a(2)ab,2ab,10如图所示,在ABO中,AD与BC相交于点M设a,b(1)试用向量a,b表示;(2)在线段AC上取点E,在线段BD上取点F,使EF过点M,设,求证7解(1)不妨设manb,一方面,由于A,D,M三点共线,则存在(1)使得,于是,又,所以ab,则即m2n1;另一方面,由于B,C,M三点共线,则存在(1)使得,于是,又,所以ab,则即4mn1由可得m,n,所以ab(2)证明:由于E,M,F三点共线,所以存在实数(1)使得,于是,又,所以ab,于是abab,从而消去即得7- 9 -
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