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第15课时等比数列的前n项和知识点一 等比数列前n项和的直接应用1已知公比为q(q1)的等比数列an的前n项和为Sn,则数列的前n项和为()A B C D答案D解析数列仍为等比数列,且公比为,所以数列的前n项和Sn2等比数列an的公比q0,已知a21,an2an12an,则an的前2020项和等于()A2020 B1 C1 D0答案D解析由an2an12an,得qn1qn2qn1,即q2q20又q0,解得q1又a21,a11S202003已知单调递增的等比数列an中,a2a616,a3a510,则数列an的前n项和Sn()A2n2 B2n1C2n1 D2n12答案B解析a2a616,a3a510,由等比数列的性质可得a3a516,a3a510,a3,a5为方程x210x160的实根,解方程可得a32,a58,或a38,a52,等比数列an单调递增,a32,a58,q2,a1,Sn2n1故选B4等比数列an共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q_答案2解析设an的公比为q,由已知可得q1,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,S2n,S奇由题意得,1q3,q2知识点二 “知三求二”问题5在等比数列an中,已知a13,an96,Sn189,则n的值为()A4 B5 C6 D7答案C解析由ana1qn1,得963qn1故q1,且qn132故Sn189解得q22n132n6故选C6数列an是以a为首项,q为公比的等比数列,数列bn满足bn1a1a2an(n1,2,),数列cn满足cn2b1b2bn(n1,2,)若cn为等比数列,则aq()A B3 C D6答案B解析数列an是以a为首项,q为公比的等比数列,anaqn1,则bn1a1a2an11,则cn2b1b2bn2n2n,要使cn为等比数列,则解得或(舍),aq3故选B7已知Sn为等比数列an的前n项和,Sn93,an48,公比q2,则项数n_答案5解析由Sn93,an48,公比q2,得2n32n5知识点三 公式的综合应用8等比数列an的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列若a11,则S4等于()A7 B8 C15 D16答案C解析设an的公比为q4a1,2a2,a3成等差数列,4a24a1a3,即4a1q4a1a1q2,即q24q40,q2又a11,S415故选C9已知an是公差不为零的等差数列,a11,且a1,a3,a9成等比数列(1)求数列an的通项公式; (2)求数列2an的前n项和Sn解(1)由题设,知公差d0,由a11,a1,a3,a9成等比数列得,解得d1或d0(舍去)故an的通项公式为an1(n1)1n(2)由(1)知2an2n,由等比数列前n项和公式,得Sn222232n2n12易错点 忽视特殊情形致误10设数列an是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和求证:lg Sn1易错分析本题求解时容易出现“没有分q1和q1两种情况证明”的情况,求和公式Sn只适合q1这种情况证明设an的公比为q当q1时,Snna1,Sn1(n1)a1,Sn2(n2)a1,故SnSn2Sa0,即SnSn2S两边同时取对数并整理,得lg Sn1当q1时,由题意知q0,故Sn,从而SnSn2Saqn0即SnSn2S两边同时取对数并整理,得0,q2a3a4a5q2(a1a2a3)222184故选C2已知an是首项为1的等比数列,Sn是an的前n项和,且9S3S6,则数列的前5项和为()A或5 B或5 C D答案C解析若公比q1,则9S393a127S66,得q1由题意可知,解得q2数列是以1为首项,以为公比的等比数列由求和公式可得数列的前5项和S5故选C3 如图,画一个边长为2的正三角形,再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形,依此类推,一共画了5个正三角形那么这五个正三角形的面积之和等于()A2 B C D答案D解析此五个正三角形的边长an形成等比数列:2,1,这五个正三角形的面积之和故选D4已知an是等比数列,a22,a5,则a1a2a2a3anan1()A16(14n) B16(12n)C(14n) D(12n)答案C解析an是等比数列,a22,a5a2q32q3,则q,a14,a1a28,q2,数列anan1是以8为首项,为公比的等比数列,a1a2a2a3a3a4anan1(14n)故选C5某人为了观看2020年奥运会,从2013年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄,若年利率为p,且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期,到2020年5月10日将所有存款和利息全部取回,则可取回的钱数(元)为()Aa(1p)7Ba(1p)8C(1p)7(1p)D(1p)8(1p)答案D解析设所有存款和利息的总和为S元,由题意知第一年存入的a元到2020年本息和为a(1p)7元,以此类推,2019年存入的a元到2020年本息和为a(1p)元,所以Sa(1p)7a(1p)6a(1p)5a(1p)a(1p)7(1p)6(1p)5(1p)a(1p)8(1p)故选D二、填空题6设数列an的前n项和为Sn(nN),有下列三个命题:若an既是等差数列又是等比数列,则anan1;若Snan(a为非零常数),则an是等比数列;若Sn1(1)n,则an是等比数列其中真命题的序号是_答案解析易知是真命题,由等比数列前n项和Snqn知不正确,对于,易知an为2,2,2,2,故正确7给定anlog(n1)(n2)(nN*),定义乘积a1a2ak为整数的k(kN*)叫做“理想数”,则区间1,2018内的所有理想数的和为_答案2026解析anlog(n1)(n2)(nN*),由a1a2ak为整数,得log23log34logk(k1)log(k1)(k2)log2(k2)为整数,设log2(k2)m,则k22m,k2m2;21120482018,区间1,2018内所有“理想数”为:222,232,242,2102,其和M22223224221021820268已知an,bn均为等比数列,其前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的nN*,总有,则_答案9解析设an,bn的公比分别为q,q,n1时,a1b1n2时,n3时,72q5q3,7q27qq2q60,解得q9,q3,9三、解答题9已知等比数列an中,a1,公比q(1)Sn为an的前n项和,证明:Sn;(2)设bnlog3a1log3a2log3an,求数列bn的通项公式解(1)证明:因为ann1,Sn,所以Sn(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n)所以bn的通项公式为bn10等比数列an的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列(1)求an的公比q;(2)若a1a33,求Sn解(1)S1,S3,S2成等差数列,2S3S1S2显然an的公比q1,于是有a1,即2(1qq2)2q,整理得2q2q0,q(q0舍去)(2)q,又a1a33,a1a123,解得a14于是Sn1n- 8 -
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