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第五章 贝叶斯决策分析,引言 决策是需要信息的,信息包括两个方面:、结果值;、自然状态的概率。 贝叶斯决策是分析有关自然状态概率的信息对决策的影响。 面临的问题是:一方面信息越准确对决策越有利;一方面获得信息是有成本的。这两者之间会有一个平衡,因此需要知道信息的价值。 要想知道信息的价值,必须了解贝叶斯分析的原理。,预备知识,一、先验概率与后验概率 先验概率 ( Prior probability) 先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个随机变量; 先验概率通常是经验丰富的专家的纯主观的估计. 比如在法国大选中女候选罗雅尔的支持率 p, 在进行民意调查之前, 可以先验概率来表达这个不确定性. 后验概率 ( posterior probability) 后验概率是在考虑了一个事实之后的条件概率.后验概率可以根据通过Bayes定理, 用先验概率和似然函数计算出来.,二、全概率公式和贝叶斯公式 条件概率 如在事件发生的条件下求事件发生的概率,将此概率记作P(|).,全概率公式,贝叶斯公式,贝叶斯公式把条件概率和似然函数联系起来,因此可以用先验概率求出后验概率。,例:小概率事件不会发生,因为如果发生,就不是小概率事件。,先验概率 p(小)=0.9; p(大)=0.1,似然矩阵,后验概率,事件发生的总概率,5.1 贝叶斯决策的基本方法,5.1.1 贝叶斯决策的基本方法 管理决策的两种偏向:(1)缺少调查,(2)调查费用过高。 贝叶斯决策:为了提高决策质量,需要通过市场调查,收集有关状态变量的补充信息,对先验分布进行修正,用后验状态分布进行决策。 贝叶斯决策的意义 贝叶斯决策可以做到少花钱多办事,提高决策分析的科学性和效益性。,有关的概率公式,离散情况 设有完备事件组j(j=1, 2, , n),满足:,则对任一随机事件H,有全概率公式:,有关的概率公式,贝叶斯公式:,5.1 贝叶斯决策的基本方法,5.1.2 贝叶斯决策的基本方法 补充信息(信息值) 指通过市场调查分析所获取的补充信息, 用已发生的随机事件H或已取值的随机变量表示,称H或为信息值。 信息值的可靠程度 用在状态变量的条件下,信息值H的条件分布p(H/)表示。,5.1.2 贝叶斯决策的基本方法,离散情形 若取n个值j(j=l, 2, , n),H取m个值Hi(i1, 2, , m),则信息值的可靠程度对应一个矩阵贝叶斯决策的似然分布矩阵,5.1.2 贝叶斯决策的基本方法,利用市场调查获取的补充信息值Hi 或去修正状态变量的先验分布,即依据似然分布矩阵所提供的充分信息,用贝叶斯公式求出在信息值H或发生的条件下,状态变量的条件分布 p(/H)。 先验概率p() :由以往的数据分析得到的概率; 后验概率p(/H):在得到信息之后,重新加以修正的概率。,贝叶斯决策的基本步骤,1.验前分析 依据数据和资料以及经验和判断,去测算和估计状态变量的先验分布p() ; 计算各可行方案在不同下的条件结果值; 根据某种决策准则评价选择,找出最满意方案。 2.预验分析 比较分析补充信息的价值和成本的过程。 目的:判断是否值得去补充信息?,贝叶斯决策的基本步骤,2.预验分析 判断:如果信息的价值高于其成本,则补充信息给企业带来正效益,应该补充信息反之,补充信息大可不必。 注:如果获取补充信息的费用很小,甚至可以忽略不计,本步骤可以省略,直接进行调查和收集信息,并依据获取的补充信息转入下一步骤。,贝叶斯决策的基本步骤,3.验后分析 利用补充信息修正先验分布,得到更加符合实际的后验分布; 再利用后验分布进行决策分析,选出最满意的可行方案; 对信息的价值和成本作对比分析,对决策分析的经济效益情况作出合理的说明 验后分析和预验分析的异同: 相同:都是通过贝叶斯公式修正先验分布 不同:主要在于侧重点不同,贝叶斯决策的基本步骤,4.序贯分析(主要针对多阶段决策) 指把复杂的决策问题的决策分析全过程划分为若干阶段,每一阶段都包括先验分析、预验分析和验后分析等步骤, 每个阶段前后相连,形成决策分析全过程,某工厂计划生产一种新产品,产品的销售情况有畅销(1),滞销(2)两种,据以往的经验,估计两种情况发生的概率分布和利润如下表所示:,例5.1,为了进一步摸清市场对这种产品的需求情况,拟聘请某咨询公司进行市场调查和分析,该公司对销售情况预测也有畅销(H1)和滞销 (H2)两种,对畅销预测的准确率为0.95,对滞销预测的准确率为0.9:,例5.1,解: 1、验前分析 记方案a1 为生产该新产品,方案a2 为不生产。 则: E (a1)=1.1(万元),E (a2)=0 记验前分析的最大期望收益值为E1,有: E1maxE (a1),E (a2) =1.1 因此验前分析后的决策为:生产该新产品。 即: aopt a1 E1为不作市场调查的期望收益。,例5.1,2、预验分析:由全概率公式,得:,例5.1,2、预验分析: 再由贝叶斯公式,得:,例5.1,2、预验分析: 用后验分布代替先验分布,计算各方案的期望收益值。 当市场调查值为 H1(产品畅销)时:,aopt (H1) a1 即:市场调查畅销时,最优方案是生产该新产品。,例5.1,2、预验分析: 当市场调查值为 H2(产品滞销)时:,aopt (H1) a2 即:市场调查滞销时,最优方案是不生产该新产品。,例5.1 是否该进行市场调查?,假定咨询公司收费为0.1万元。 2、预验分析: 通过调查,该企业可获得的收益期望值为:,通过调查,该企业收益期望值能增加,因此,只要调查费用不超过0.0301万元,就应该进行市场调查;否则,则不应进行市场调查。,不应进行调查,例5.1,3、验后分析:综上所述, 在咨询公司收费不超过0.0301万元的情况下,进行市场调查,能使该企业新产品开发决策取得较好的经济效益;否则,不做市场调查。 若调查结果是该产品畅销,则应该选择方案a1,即生产新产品; 若调查结果是该产品滞销,则应该选择方案a2,即不生产新产品。,例5.2,某企业为开发某种新产品需要更新设备,有三种方案可供选择:引进大型设备(a1)、引进中型设备(a2)、引进小型设备(a3)。市场对该新产品的需求状态也有三种:需求量大(1)、需求量一般(2) 、需求量小(3) 。根据市场预测,企业的收益矩阵如下(单位:万元):,例5.2,根据历年资料,该产品各需求状态的概率分别为p(1)=0.3,p(2)=0.4,p(3)=0.3。为使新产品开发产销对路,该拟试销作市场调查,试销结果可能有三种:需求量大(H1)、需求量一般(H2)、需求量小(H3)。调查结果值的可靠性如下表所示:,试对该企业新产品开发方案进行决策。,例5.2,解:1、验前分析,E1maxE (a1),E (a2),E (a3) =17 因此验前分析后的决策为:引进大型设备。 即: aopt a1 E1为不进行试销(市场调查)的期望收益。,例5.2,2、预验分析:由全概率公式,得:,例5.2,2、预验分析: 再由贝叶斯公式,得:,例5.2,例5.2,2、预验分析: 用后验分布代替先验分布,计算各方案的期望收益值。 当市场调查值为 H1(需求量大)时:,例5.2,2、预验分析: 当市场调查值为 H1(需求量大)时:,aopt (H1) a1 即:试销为产品需求量大时,最优方案是引进大型设备。,例5.2,当市场调查值为 H2(需求量一般)时:,aopt (H2) a1 即:试销为产品需求量一般时,最优方案也是引进大型设备。,例5.2,当市场调查值为 H3(需求量小)时:,aopt (H2) a3 即:试销为产品需求量小时,最优方案是引进小型设备。,例5.2,3、验后分析: 通过试销,该企业可获得的收益期望值为:,该企业收益期望值能增加:,只要试销所需费用不超过3万元,就应该进行市场调查;否则,则不应进行试销。,例5.2,3、验后分析: 在试销费用不超过3万元的情况下,进行试销,能使该企业新产品开发决策取得较好的经济效益;若试销费用不超过3万元,则不应进行试销。 若试销结果是该产品需求量大或一般,则应该选择方案a1,即引进大型设备; 若调查结果是该产品需求量小,则应该选择方案a3,即引进小型设备。,5.2 贝叶斯决策信息的价值,从前面的分析看出,利用补充信息来修正先验概率,可以使决策的准确度提高,从而提高决策的科学性和效益性。因此,信息本身是有价值的能带来收益。 但获得的情报越多,花费也更多。 因此有一个获取补充信息是否有利的问题:收益与成本的比较。 问题:如何衡量信息的价值?,5.2 贝叶斯决策信息的价值,5.2.1 完全信息的价值(EVPI) 完全情报:指能够提供状态变量真实情况的补充信息。即在获得补充情报后就完全消除了风险情况,风险决策就转化为确定型决策。 1.完全信息值 设Hi 为补充信息值,若存在状态值0,使得条件概率P(0/ Hi)=1 ,或者当状态值 0时,总有P(/ Hi)=0 。则称信息值Hi为完全信息值。(补充信息可靠性100%),5.2.1 完全信息的价值(EVPI),2.完全信息值Hi的价值 设决策问题的收益函数为Q=Q(a,),其中a为行动方案,为状态变量。 若Hi为完全信息值,掌握了Hi的最满意的行动方案为a(Hi) ,其收益值为 Q(a(Hi),)maxQ(a,) 验前最满意行动方案为aopt ,其收益值为Q(aopt ,),则称掌握了完全信息值Hi前后的收益值增量:,为在状态变量为时的完全信息值Hi的价值。,5.2.1 完全信息的价值(EVPI),3.完全信息价值 如果补充信息值 Hi对每一个状态值都是完全信息值,则完全信息值Hi 对状态的期望收益值称为完全信息价值的期望值(expected value of perfect information),简称完全信息价值,记做EVPI。,5.2.1 完全信息的价值(EVPI),在例5.1中 如果补充信息(咨询公司市场调查)的准确度很高,预测畅销,则100%畅销;预测滞销,则100%滞销;这时: P(1/ H1)=1, P(2/ H1)= 0 P(1/ H2)=0, P(2/ H2)= 1 则H1(咨询公司预测畅销)、H2(咨询公司预测滞销)都是完全信息值(完全情报)。,5.2.1 完全信息的价值(EVPI),在例5.1中,若H1、H2都是完全信息值 验前最满意行动方案为a1 (生产新产品) 完全信息值H1的价值=1.5-Q(a1,1)=1.5-1.5=0 完全信息值H2的价值=0-Q(a1,2)=0-(-0.5)=0.5 完全信息价值为:,5.2.2 补充信息的价值(EVAI),1.补充信息价值 实际工作中取得完全情报是非常困难的。 补充信息值Hi 的价值: 决策者掌握了补充信息值 Hi前后期望收益值的增加量(或期望损失值的减少量)。 补充信息价值:全部补充信息值Hi 价值的期望值,称为补充信息价值的期望值。简称补充信息价值,记做EVAI(Expected Value of Additional Information)。,2、补充信息价值(EVAI)的计算,公式1:,其中:a()表示在信息值下的最满意方案, E/表示在信息值的条件下对状态值求收益期望值。,公式2:,公式3:R(a,)表示决策问题的损失函数,例5.1中:验前最满意行动方案为a1 (生产新产品),E(aopt,)=E(a1,)=1.1万元 a(H1)=a1, a(H2)=a2,EVAI=1.13-1.1=0.03万元,5.2.3 EVAI 与EVPI 的关系,任何补充信息价值都是非负的,且不超过完全信息的价值。 即: EVPIEVAI0 信息价值对管理决策的意义 任何补充信息决不会降低决策方案的经济效益! 完全信息是一类特殊的补充信息,是价值的信息。,5.3 抽样贝叶斯决策,问
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