2.1 连续时间信号的时域分析 2.1.1 基本连续时间信号 2.1.2 连续时间信号的冲激表示 2.2 周期信号的傅里叶分析 2.2.1 周期信号的傅里叶级数 2.2.2 典型周期信号的频谱 2.3 非周期信号的傅里叶变换 2.3.1 从傅里叶级数到傅里叶变换 2.3.2 典型非周期信号的傅里叶变换 2.3.3 傅里叶变换的性质 2.4 周期信号的傅里叶变换 2.5 连续信号的拉普拉斯变换 2.5.1 拉普拉斯变换的定义 2.5.2 拉普拉斯逆变换,第二章 连续时间信号的分析,时域分析 以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf(t) = h(t)*f(t)。这里用于系统分析的独立变量是时间。 频域分析 本章将以正弦信号和虚指数信号ejt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。,2.1 连续时间信号的时域分析,2.1.1 基本连续时间信号,1、单位斜变信号,数学描述：,2、单位阶跃信号,突然接入的直流电压,突然接通又马上断开电源,（1）阶跃信号的物理背景（开关作用）,n ,函数序列n(t),阶跃信号和冲激信号都是奇异信号, 阶跃信号与冲激信号是两种最基本的理想信号模型。 阶跃信号和冲激信号在信号分析与处理中占有重要地位。,（2）阶跃信号的数学描述,延迟时间的阶跃函数,单位阶跃函数,（3）阶跃信号的单边特性,对函数 t0 部分的截取,（5）用阶跃函数闭式表示分段光滑信号,x(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2),（4）阶跃信号的加窗特性,对脉冲范围内的截取,（6）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号,（1）冲激信号的物理背景,冲激信号反映一种持续时间极短，函数值极大的脉冲信号的极限，如：雷击电闪、短促而强烈的干扰信号、瞬间作用的冲击等等。,3、单位冲激信号,单位冲激信号的特征：宽度无穷小（脉宽）、高度无穷大（脉高）、面积为1（强度为1）的窄脉冲。,注意：图中K为强度，要括住！,（2）冲激信号(t)的数学描述,延迟单位冲激,1）(t)的狄拉克定义,单位冲激函数,一般冲激信号,2） 脉冲函数极限定义法,矩形脉冲逼近：,脉冲逼近：,对n(t)求导矩形脉冲pn(t),（3）冲激函数的性质,1） 与普通函数 x(t) 的乘积筛分性质,若x(t)在 t = 0 、 t = t0处存在，则 x(t)(t) = x(0)(t) ， x(t)(t t0) = x(a) (t t0),冲激函数把信号在充激时刻的值“筛分”出来，赋给冲激函数作为冲激强度。,连续信号与冲激函数相乘再积分，等于冲激时刻的信号值,这就是抽样性质。,2） 与普通函数 x(t) 的乘积再积分抽样性质,（4）冲激函数与阶跃函数关系：,可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如,x(t) = 2(t +1)-2(t -1),x(t) = 2(t +1)-2(t -1),4、冲激函数的导数(t) （也称冲激偶信号）,( t) = (t) 为偶函数 ( t) = (t) 为奇函数,（1）冲激偶信号的数学描述,（2）冲激偶信号的性质,1） 与普通函数 x(t) 的乘积筛分性质,2） 抽样性质,0,(t),例：简化下列表达式。,5、指数信号,（1）指数信号的数学描述,1）实指数信号,指数规律增长,指数规律衰减,直流,2）复指数信号,增幅振荡,衰减振荡,等幅振荡,复指数信号是连续信号与系统的复频域分析中使用的基本信号。其中复频率s中的实部绝对值的大小反映了信号增长或衰减的速率，虚部的大小反映了信号振荡的频率。,（2）用复指数信号表示正余弦信号,6、抽样信号,抽样信号的数学描述：,2.1.2 连续时间信号的冲激表示,任意连续信号可以表示为无限多个不同加权的冲激信号之和。,傅里叶生平,1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论”一书中 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件,非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示,傅立叶的两个最主要的贡献,周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和,2.2 周期信号的傅里叶分析,傅里叶分析的工程意义,各种频率的正弦信号的产生、传输、分离和变换容易工程实现。,正弦量只需三要素即可描述，LTI系统的输入和输出的差别只有两要素，即系统的作用只改变信号的振幅和相位。, 是LTI系统的特征函数，响应易求且简单。,1、傅里叶分析的基本信号单元,2、适用于广泛的信号,由虚指数或正弦信号的线性组合可以组成工程中各种信号，使得对任意信号作用下的LTI系统进行频域分析成为一件容易的事情。利于滤波、压缩处理。,3、频域分析的优势,任意信号分解成不同频率虚指数（正弦）信号的线性组合，分析LTI系统对这些不同频率单元信号作用的响应特性的过程就是频域分析。,频率分析可以方便求解系统响应。 例如相量法。,频域分析的结果具有明显的物理意义，例如抽样定理和无失真传输概念都是频域分析的结果。,可直接在频域内设计可实现的系统，例如滤波器的设计。,狄里赫利条件,1、在一个周期内只有有限个间断点； 2、在一个周期内有有限个极值点； 3、在一个周期内函数绝对可积，即,正交函数与正交函数集,正交函数：若两个函数g1(t)、g2(t)在区间(t1,t2)内满足,则说明这两个函数在区间(t1,t2)正交，或称它们是区间(t1,t2)上的正交函数。,正交函数与正交函数集,正交函数集：若函数集gi(t) 在区间(t1,t2)内且函数g1(t) ，. gn(t) 满足,则这个函数集就是正交函数集，当ki=1时为归一化正交函数集。,满足一定条件的信号可以被分解为正交函数的 线性组合,若正交函数集是完备的，则：,三角函数集是最重要的完备正交函数集,三角函数是基本函数； 用三角函数表示信号，建立了时间与频率两个基本物理量之间的联系； 单频三角函数是简谐信号，易于产生、传输、处理； 三角函数信号通过LTI系统后，仍为同频三角函数信号。,三角函数集：,完备正交函数集,复指数函数集：,1、傅里叶级数的三角形式,设周期信号x(t)，其周期为T1，角频率1=2/T1，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为x(t)的傅里叶级数,系数ak , bk称为傅里叶系数,可见， ak 是k的偶函数， bk是k的奇函数。,2.2.1 周期信号的傅里叶级数,式中，C0 = a0,上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， C0为直流分量； C1cos(1t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同； C2cos(2 1t +2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ckcos(k 1t+k)称为k次谐波。,可见Ck是k的偶函数， k是k的奇函数。 ak = Ckcosk， bk = Cksin k，k=1,2,将上式同频率项合并，可写为,由前知,引入了负频率,其中,由欧拉公式,指数级数,2、傅里叶级数的指数形式,三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。 可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2,称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。,(k = 0, 1, 2，),表明：任意周期信号x(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 X0 = C0为直流分量。,两种傅氏级数的系数间的关系:,3、三角形式与指数形式的比较,三角形式便于电路计算，便于对称性分析,指数形式是本课程研究的主要形式,可推出傅里叶变换, 表达最简练,k = 0, 1, 2，,指数形式的优势, 代表频谱,2.2.2 典型周期信号的频谱,从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即 将Ck和k的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为k0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Xk|和k的关系，称为双边谱。若Xk为实数，也可直接画Xk 。,1、周期矩形脉冲信号的频谱,周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为，脉冲幅度为A，周期为T1，求频谱。,离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密； 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比； 各谱线的幅度按 包络线变化； 过零点为： ； 主要能量在第一过零点内。主频带宽度为：,周期矩形脉冲信号频谱的特点：,谱线的结构与波形参数的关系：,(a) T1一定，变小，此时1（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目增多。,周期不变时，脉冲宽度越窄，其频谱包络线第一个零值点的频率越高，即信号的带宽越大，频带内所含的分量越多 。,如果周期无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线 间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号 的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。,(b) 一定，T1增大，间隔1减小，频谱变密。幅度减小。,2、周期三角脉冲信号的频谱,2.3 非周期信号的傅里叶变换,2.3.1 从傅里叶级数到傅里叶变换,非周期信号x(t)可看成是周期T1时的周期信号。 前已指出当周期T1趋近于无穷大时，谱线间隔1趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令,(单位频率上的频谱）,称X()为频谱密度函数。,考虑到：T1，1无穷小，记为d； k 1 （由离散量变为连续量），而,同时， ,于是，,傅里叶变换式“-”,傅里叶反变换式,X()称为x(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 x(t)称为X()的傅里叶反变换或原函数。,根据傅里叶级数,也可简记为,或 x(t) X(),X()是一个密度函数的概念 X() 是一个连续谱 X() 包含了从零到无限高频的所有频率分量 各频率分量的频率不成谐波关系,非周期信号FT的物理意义,X()一般是复函数，写为,说明： (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数x(t)的傅里叶变换存在的充分条件:,(2)用下列关系还可方便计算一些积分。,|X()|幅度谱 ()相位谱,非周期信号的幅度频谱是频率的连续函数，其形状与相应周期信号频谱的包络线相同。,2.3.2 典型非周期信号的频谱,单边指数信号 x(t) = et(t)， 0实数,2. 矩形脉冲信号 （门函数）,3. 符号函数,4. 单位冲激信号,5. 直流信号,(t)1代入反变换定义式，有,将t，t-,再根据傅里叶变换定义式,有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列xn(t)逼近x (t) ，即,而xn(t)满足绝对可积条件，并且xn(t)的傅里叶变换所形成的序列Xn()是极限收敛的。则可定义x(t)的傅里叶变换X ()为,这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。,广义傅里叶变换,6. 单位阶跃信号,7. 双边指数信号 x(t) = et , 0,2.3.3 傅里叶变换的性质,1. 线性(Linear Property),若,，,则对于任意常数a1和a2，有,证明: F a1 x1(t) + a2 x2(t),= a1 X1() + a2 X2() ,2. 对偶性(Symmetr