高考数学 (北京专用),第十一章 计数原理 11.1 排列、组合,A组 自主命题北京卷题组,五年高考,1.(2012北京,6,5分)从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中 奇数的个数为 ( ) A.24 B.18 C.12 D.6,答案 B 从0,2中选一个数字,分两类:(1)取0:此时0只能放在十位,再从1,3,5中任取两个数,在 个位与百位进行全排列即可,列式为 ;(2)取2:此时2可以放在十位或百位,再从1,3,5中任取两 个放在剩余两位进行全排列,列式为2 ,满足条件的三位数的个数为 +2 =3 =332= 18.故选B.,评析 本题考查排列组合知识以及分类讨论思想.,2.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻, 则不同的摆法有 种.,答案 36,解析 记其余两件产品为D、E,A、B相邻视为一个元素,先与D、E排列,有 种方法;再将 C插入,仅有3个空位可选,共有 =263=36种不同的摆法.,思路分析 先把产品A,B捆绑在一起,和除了C以外的另两件产品进行全排列,再把产品C插入 形成的空中,并不与A相邻.,方法点拨 含有约束条件的排列问题,优先处理特殊元素或特殊位置,相邻问题一般采用捆绑 法,不相邻问题常采用插空法.,3.(2013北京,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给 同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是 .,答案 96,解析 5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观 券分给4人,则不同的分法种数是4 =96.,方法点拨 解决不同元素的分配问题一般分成两步.第一步:采用不均匀分组、均匀分组或者 部分均匀分组;第二步:把分好的组进行全排列.,评析 本题主要考查排列组合问题,“5张参观券分成4份,且2张参观券连号的分法有4种”是 解题的关键,审题不清楚是学生失分的主要原因.,4.(2011北京,12,5分)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 个.(用数字作答),答案 14,解析 解法一:数字2只出现一次的四位数有 =4个;数字2出现两次的四位数有 =6个;数 字2出现三次的四位数有 =4个.故共有4+6+4=14个. 解法二:由数字2,3组成的四位数共有24=16个,其中没有数字2的四位数只有1个,没有数字3的 四位数也只有1个,故符合条件的四位数共有16-2=14个.,失分警示 没有理解“数字2、3至少都出现一次”的含义,造成分类不准确而失分.误把相同 数字排列当作不同数字排列,造成失分.,评析 本题考查排列组合的基础知识,考查分类讨论思想,解题的关键是准确分类,并注意相同 元素的排列数等于不同元素的组合数.属于中等难度题.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点 排列、组合,1.(2019课标全国理,6,5分),我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组 成,爻分为阳爻“”和阴爻“ ”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该 重卦恰有3个阳爻的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 本题以数学文化为背景考查排列与组合;考查学生的数据处理能力和应用意识;考 查的核心素养是数学建模与数学运算. 重卦是由从下到上排列的6个爻组成,而爻有“阳爻”和“阴爻”两种,故所有的重卦共有26=6 4种.重卦中恰有3个“阳爻”的共有 =20种.故所求概率P= = ,故选A.,审题指导 本题渗透了中国传统文化,以周易中的“卦”为背景,考查排列、组合,组成 所有重卦的情况是“可重复排列”问题,从下到上的每个爻都有两种选择;而其中恰有3个阳 爻的重卦,只需从6个爻中选出3个作为阳爻,其余均为阴爻,本题是一个标准的组合问题.,2.(2017课标全国,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成, 则不同的安排方式共有 ( ) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种,答案 D 本题主要考查排列、组合. 第一步:将4项工作分成3组,共有 种分法. 第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有 种分配方法,故共有 =36种安排方式,故选D.,方法总结 分组、分配问题 分组、分配问题是排列组合的综合问题,解题思想是先分组后分配. (1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种: 完全均匀分组,每组元素的个数都相等; 部分均匀分组,应注意不要重复; 完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种: 相同元素的分配问题,常用“挡板法”; 不同元素的分配问题,利用分步乘法计数原理,先分组,后分配; 有限制条件的分配问题,采用分类法求解.,3.(2016课标,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老 年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( ) A.24 B.18 C.12 D.9,答案 B 分两步,第一步,从EF,有6条可以选择的最短路径;第二步,从FG,有3条可以选择 的最短路径.由分步乘法计数原理可知有63=18条可以选择的最短路径.故选B.,4.(2016课标,12,5分)定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对 任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有 ( ) A.18个 B.16个 C.14个 D.12个,答案 C 当m=4时,数列an共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k8,a1,a2,ak中0的 个数不少于1的个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:若a3=0, 则a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有 =4种情况;若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可, 有 =3种情况;若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有 =2种情况;(2)当a2=1时,必 有a3=0,分以下2种情况:若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有 =3种情况;若a4=1,则a5必为 0,a6,a7中任一个为0均可,有 =2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14 个,故选C.,解后反思 本题是“新定义”问题,理解“规范01数列”的定义是解题的关键,注意分类讨 论时要不重不漏.,5.(2016四川,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为 ( ) A.24 B.48 C.60 D.72,答案 D 奇数的个数为 =72.,6.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有 ( ) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个,答案 B 数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数. 其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2 =48个;同理,以5开头的有3 =72个.于是共 有48+72=120个,故选B.,评析 本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识. 考查学生分析问题、解决问题的能力.,7.(2018课标全国,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选, 则不同的选法共有 种.(用数字填写答案),答案 16,解析 本题主要考查组合问题. 解法一:从2位女生,4位男生中选3人,且至少有1位女生入选的情况有以下2种:2女1男,有 =4种选法;1女2男,有 =12种选法,故至少有1位女生入选的选法有4+12=16种. 解法二:从2位女生,4位男生中选3人有 =20种选法,其中选出的3人都是男生的选法有 =4种, 所以至少有1位女生入选的选法有20-4=16种.,8.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答),答案 1 260,解析 本题考查排列、组合及其运用,考查分类讨论思想. 含有数字0的没有重复数字的四位数共有 =540个,不含有数字0的没有重复数字的四 位数共有 =720个,故一共可以组成540+720=1 260个没有重复数字的四位数.,易错警示 数字排成数时,容易出错的地方: (1)数字是否可以重复; (2)数字0不能排首位.,9.(2017天津,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四 位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答),答案 1 080,解析 本题主要考查计数原理及排列组合的应用. (1)有一个数字是偶数的四位数有 =960个. (2)没有偶数的四位数有 =120个. 故这样的四位数一共有960+120=1 080个.,思路分析 分两种情况:有一个数字是偶数的四位数; 没有偶数的四位数.,10.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么 全班共写了 条毕业留言.(用数字作答),答案 1 560,解析 同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,全班共写了4039= 1 560条毕业留言.,C组 教师专用题组,1.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个 医疗小组.则不同的选法共有 ( ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种,答案 C 从6名男医生中选出2名有 种选法,从5名女医生中选出1名有 种选法,由分步乘 法计数原理得不同的选法共有 =75种.故选C.,2.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有 ( ) A.24对 B.30对 C.48对 D.60对,答案 C 利用正方体中两个独立的正四面体解题,如图, 它们的棱是原正方体的12条面对角线. 一个正四面体中两条棱成60角的有( -3)对,两个正四面体有( -3)2对.又正方体的面对角 线中平行成对,所以共有( -3)22=48对.故选C.,3.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为 ( ) A.144 B.120 C.72 D.24,答案 D 先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位 置,共有 =24种放法,故选D.,评析 本题主要考查排列组合内容及逻辑思维能力,解决不相邻问题常采用插空法.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点 排列、组合,答案 A 解法一(插空法): =12. 解法二(间接法): - =12,故选A.,1.(2019北京顺义期末，7) 4种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有1种其他产品，则不同排列方法的种数是 ( ) A.12 B.10 C.8 D.6,2.(2018北京东城一模,6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”“明代御窑瓷器展” “历代青绿山水画展”“赵孟頫书画展”四个展览.某同学决定在五一当天的上、下午各参 观其中的一个,且至少参观一个画展,则不同的参观方案共有 ( ) A.6种 B.8种 C.10种 D.12种,答案 C 间接法: