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函数与分析平面直角坐标系:1. 概念:平面直角坐标系的概念是建立在数轴基础上的,在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系,通常两条数轴分别置于水平位置与铅直位置,水平的数轴向右为正叫做x轴(横轴),铅直的数轴向上为正叫做y轴(纵轴)。x轴和y轴统称坐标轴,它们的公共原点O称为直角坐标系的原点,建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面。2. 坐标平面由两条坐标轴和四个象限构成,如图1,可以看成坐标平面的六个区域:x轴,y轴,第一象限,第二象限,第三象限,第四象限。注意:坐标轴上的点不属于任何一个象限。3. 点P(a,b)到x轴的距离为|b|,到y轴的距离为|a|。4. 特殊位置的点的坐标的特征:(1)坐标轴上的点: 点P的坐标为(a,0)点P在x轴上; 点P的坐标为(0,b)点P在y轴上;(2)各象限内的点: 点P在第一象限; 点P(a,b)在第二象限; 点P(a,b)在第三象限; 点P(a,b)在第四象限;5. 具有特殊位置关系的两点之间的坐标关系;(1)关于坐标轴或原点对称的两点,根据对称的性质,如图4,有(2)连线平行于坐标轴的两点,连线平行于x轴的两点的纵坐标相同,连线平行于y轴的两点的横坐标相同。在平面直角坐标系中点的平移,(1)将点向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点(或);(2)将点向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点。其中,。考点1:坐标系内的点的特征1.(2009年陕西省)如果点P(m,1-2m)在第四象限,那么m的取值范围是 ( )ABCD2.(2009年杭州市) 已知点P(,)在函数的图象上,那么点P应在平面直角坐标系中的( )A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3. (2009年新疆乌鲁木齐市)在平面直角坐标系中,点在第四象限,则实数的取值范围是 4. (2009白银市)14.反比例函数的图象经过点P(,1),则这个函数的图象位于第 象限考点2:平移1.(2009仙桃)如图,把图中的A经过平移得到O(如图),如果图中A上一点P的坐标为(m,n),那么平移后在图中的对应点P的坐标为( )A(m2,n1) B(m2,n1) C(m2,n1) D(m2,n1)2.(2009威海)如图,A,B的坐标为(2,0),(0,1)若将线段平移至,则的值为()A2B3C4D53. (2009湖北省荆门市)将点P向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到(,3),则点P的坐标是_ 考点3:对称1、(2009年郴州市)点关于轴对称的点的坐标为()A B C D 2. (2009年广西钦州)点P(2,1)关于y轴对称的点的坐标为( )A(2,1)B(2,1)C(2,1)D(2,1)3. (2009肇庆)11在平面直角坐标系中,点关于原点对称点的坐标是 考点4:旋转1.(2009年桂林市、百色市)如图所示,在方格纸上建立的平面直角坐标系中,将ABO绕点O按顺时针方向旋转90,得 ,则点的坐标为( ) 12430-1-2-3123AB第11题图A(3,1) B(3,2) C(2,3) D(1,3)2.(2009年崇左)已知点的坐标为,为坐标原点,连结,将线段绕点按逆时针方向旋转90得,则点的坐标为( )A B C D正、反比例函数:正比例函数:1概念:形如y=kx(k是常数,k0)的函数叫做正比例函数,其中k叫比例系数 正比例函数都是常数与自变量的乘积的形式2性质:正比例函数y=kx(k是常数,k0)的图象是一条经过原点的直线,我们通常称之为直线y=kx 当k0时,直线y=kx依次经过第一、三象限,从左向右上升,y随x的增大而增大;当k0时,直线y=kx依次经过第二、四象限,从左向右下降,y随x的增大而减小3图像的确定:根据两点确定一条直线,可以确定两个点(两点法)画正比例函数的图象反比例函数:l.概念:一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成(k为常数,)的形式,那么称y是x的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点:(1)k是常数,且k不为零;(2)中分母x的指数为1,如,就不是反比例函数。(3)自变量x的取值范围是的一切实数;(4)自变量y的取值范围是的一切实数。2.图象:反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交。画反比例函数的图象时要注意的问题:(1)画反比例函数图象的方法是描点法;(2)画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是,因此不能把两个分支连接起来。(3)由于在反比例函数中,x和y的值都不能为0,所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴,但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。3.性质:的变形形式为(常数)所以:(1)其图象的位置是:当时,x、y同号,图象在第一、三象限;当时,x、y异号,图象在第二、四象限。(2)若点(a,b)在反比例函数的图象上,则点(-a,-b)也在此图象上,故反比例函数的图象关于原点对称。(3)当时,在每个象限内,y随x的增大而减小;当时,在每个象限内,y随x的增大而增大;4.解析式的确定:(1)反比例函数关系式的确定方法:待定系数法,由于在反比例函数关系式中,只有一个待定系数k,确定了k的值,也就确定了反比例函数,因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标,代入中即可求出k的值,从而确定反比例函数的关系式。(2)用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是:设所求的反比例函数为:();根据已知条件,列出含k的方程;解出待定系数k的值;把k值代入函数关系式中。5.实际应用:反比例函数的应用须注意以下几点:反比例函数在现实世界中普遍存在,在应用反比例函数知识解决实际问题时,要注意将实际问题转化为数学问题。针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。列出函数关系式后,要注意自变量的取值范围。考点1:正、反比例函数的概念、图像和性质1当m= 时,函数是反比例函数,且图象在二、四象限.2直线y=(2m)x,经过第一、三象限,则m的取值范围是 .3若函数,当m= 时此函数是正比例函数,且图象在第一、三象限,y随x的减小而 .4已知M1(x1、y1)、 M1(x1、y1)是正比例函数y=kx(k0)图象上两点,当x1x2时,y1y2,则k的取值范围是 ,图象经过 象限.5(2009年哈尔滨)点在反比例函数()的图象上,则k的值是()A B C D考点4:正、反比例函数的综合应用1(2009年鄂州)如图,直线y=mx与双曲线y=交于A、B两点,过点A作AMx轴,垂足为M,连结BM,若=2,则k的值是( ) A2 B、m-2 C、m D、4O9(毫克)12(分钟)图92(2009河池)为了预防流感,某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(分钟)成正比例;药物释放完毕后,与成反比例,如图9所示根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)写出从药物释放开始,与之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能进入教室?一次函数:一次函数考点1:一次函数的概念和性质:(1) 若一次函数y=2x+m-2的图象经过第一、第二、三象限,求m的值(2)如果函数的图象与函数的图象和交于轴上的同一点,则等于( ) A. B.2:3 C.3:(-2) D.(-3):(-2)(3)有两条直线,学生甲解出它们的交点坐标为(3,2),学生乙因把c抄错了而解出它们的交点坐标为,求这两条直线解析式。考点2:用待定系数法确定一次函数表达式及其应用(1)鞋子的“鞋码”和鞋长(cm)存在一种换算关系,下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值:鞋长16192427鞋码22283844 (1)分析上表,“鞋码”与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数? (2)设鞋长为x,“鞋码”为y,求y与x之间的函数关系式; (3)如果你需要的鞋长为26cm,那么应该买多大码的鞋?考点3:建立函数模型解决实际问题:(1)某块试验田里的农作物每天的需水量y(千克)与生长时间x(天)之间的关系如折线图所示这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克,在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克 (1)分别求出x40和x40时y与x之间的关系式;(2)如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时,需要进行人工灌溉,那么应从第几天开始进行人工灌溉?二次函数1. 几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0, )(,0)(,)()2. 抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点1) 决定开口方向及开口大小,当时,开口向上;当时,开口向下;越大,开口越小相等,抛物线的开口大小、形状相同2) 和共同决定抛物线对称轴的位置,由于抛物线的对称轴是直线,i. 时,对称轴为轴ii. (即、同号)时,对称轴在轴左侧iii. (即、异号)时,对称轴在轴右侧(左同右异)3) 的大小决定抛物线与轴交点的位置抛物线与轴有且只有一个交点(0,)i. ,抛物线经过原点ii. ,抛物线与轴交于正半轴iii. ,抛物线与轴交于负半轴3. 抛物线与轴两交点之间的距离若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,由考点1:二次函数的平移:(1)将抛物线向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是 (2)抛物线上有一点,平移该抛物线,使其顶点落在点处,这时,点落在点处,则点的坐标为 考点2:二次函数与坐标轴的交点:(1)若二次函数的图像与轴有公共点,则实数的取值范围是_.(2)己知抛物线的顶点在轴上,则 .考点3:
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