第三章 导数及其应用 3.1 导数与积分,高考理数 (课标专用),1.(2019课标,6,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 ( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案 D 本题考查导数的几何意义,常见函数的导数,导数的运算法则,通过对常见函数的导 数的求解考查学生对公式的运用能力.考查了数学运算的核心素养. y=aex+ln x+1,y|x=1=ae+1, 2=ae+1,a=e-1.切点为(1,1), 将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b, b=-1,故选D. 解题关键 正确理解导数的几何意义是解决本题的关键.,2.(2018课标,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线 方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x,答案 D 本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义. f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0,解得a=1,f(x)=x3+x,f (x)=3x2+1,f (0)=1, 故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D. 解后反思 求曲线的切线方程需注意的几个问题: (1)首先应判断所给的点是不是切点,如果不是,那么需要设出切点. (2)切点既在原函数的图象上,又在切线上,可先设出切线方程,再将切点坐标代入两者的解析 式建立方程组. (3)切点处的导数值等于切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件.,3.(2019课标,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .,答案 y=3x,解析 本题考查导数的几何意义;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算. y=3(x2+3x+1)ex,曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y|x=0=3, 曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x. 解题关键 掌握导数的运算法则与导数的几何意义是求解的关键.,4.(2016课标,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切 线方程是 .,答案 y=-2x-1,解析 令x0,则-x0),则f (x)= -3(x0),f (1)=-2,在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y= -2x-1. 思路分析 根据函数f(x)是偶函数,求出x0时函数f(x)的解析式,根据导数的几何意义,用点斜 式求出切线方程.,5.(2016课标,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .,答案 1-ln 2,解析 直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得 y= ,由y=ln(x+1)得y= ,k= = ,x1= ,x2= -1,y1=-ln k+2,y2=-ln k.即A ,B .A、B在直线y=kx+b上, 思路分析 先设切点坐标,找出切点坐标与切线斜率的关系,并将切点坐标用斜率表示出来,利 用切点在切线上列方程组,进而求解.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 导数的概念及其几何意义 1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相 垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3,答案 A 设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1x2,则由题意知只需函数y=f(x) 满足f (x1)f (x2)=-1即可.y=f(x)=sin x的导函数为f (x)=cos x,则f (0)f ()=-1,故函数y=sin x具有T 性质;y=f(x)=ln x的导函数为f (x)= ,则f (x1)f (x2)= 0,故函数y=ln x不具有T性质;y=f(x)=ex 的导函数为f (x)=ex,则f (x1)f (x2)= 0,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f (x)= 3x2,则f (x1)f (x2)=9 0,故函数y=x3不具有T性质.故选A.,2.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经 过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .,答案 (e,1),解析 本题考查利用导数求曲线的切线方程,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养为数 学运算. 设A(x0,y0),由y= ,得k= , 所以在点A处的切线方程为y-ln x0= (x-x0). 因为切线经过点(-e,-1), 所以-1-ln x0= (-e-x0).所以ln x0= , 令g(x)=ln x- (x0), 则g(x)= + ,则g(x)0, g(x)在(0,+)上为增函数.,又g(e)=0,ln x= 有唯一解x=e.x0=e. 点A的坐标为(e,1). 方法总结 求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤: 设切点为(x0, f(x0); 求k=f (x0); 得出切线的方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0); 由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.,3.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切线垂直,则P的 坐标为 .,答案 (1,1),解析 函数y=ex的导函数为y=ex, 曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1. 设P(x0,y0)(x00), 函数y= 的导函数为y=- , 曲线y= (x0)在点P处的切线的斜率k2=- , 由题意知k1k2=-1,即1 =-1, 解得 =1,又x00, x0=1. 又点P在曲线y= (x0)上, y0=1,故点P的坐标为(1,1).,考点二 定积分的运算及应用 1.(2015湖南,11,5分) (x-1)dx= .,答案 0,解析 (x-1)dx= =(2-2)-0=0.,2.(2015天津,11,5分)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为 .,答案,解析 曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,由 解得x=0或x=1,所 以S= (x-x2)dx= = - = .,C组 教师专用题组 考点一 导数的概念及其几何意义 1.(2014课标,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案 D y=a- ,当x=0时,y=a-1=2,a=3,故选D. 思路分析 根据导数的几何意义得y|x=0=2,由此可求得a. 方法总结 已知曲线在某点处的切线,求曲线方程中的参数时,常利用“切线的斜率等于曲线 所对应的函数在该点处的导数值”列方程求解.,2.(2012课标,12,5分)设点P在曲线y= ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为 ( ) A.1-ln 2 B. (1-ln 2) C.1+ln 2 D. (1+ln 2),答案 B 由y= ex得ex=2y,所以x=ln(2y),所以y= ex的反函数为y=ln(2x),所以y= ex与y=ln(2x) 的图象关于直线y=x对称,所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的 切点之间的距离,令ln(2x)= =1,解得x=1,令 =1,解得x=ln 2,所以两点为(1,ln 2)和(ln 2, 1),故d= (1-ln 2),故选B.,3.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间.,解析 (1)因为f(x)=xea-x+bx, 所以f (x)=(1-x)ea-x+b. 依题设,知 即 解得a=2,b=e. (2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex. 由f (x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知, f (x)与1-x+ex-1同号. 令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1. 所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值, 从而g(x)0,x(-,+). 综上可知, f (x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).,4.(2014课标,21,12分)设函数f(x)=aexln x+ ,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求a,b; (2)证明:f(x)1.,解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+), f (x)=aexln x+ ex- ex-1+ ex-1. 由题意可得f(1)=2, f (1)=e.故a=1,b=2. (2)证明:由(1)知, f(x)=exln x+ ex-1, 从而f(x)1等价于xln xxe-x- . 设函数g(x)=xln x,则g(x)=1+ln x. 所以当x 时,g(x)0. 故g(x)在 上单调递减,在 上单调递增,从而g(x)在(0,+)上的最小值为g =- . 设函数h(x)=xe-x- ,则h(x)=e-x(1-x). 所以当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0时,g(x)h(x),即f(x)1.,思路分析 (1)利用导数的几何意义及切线过切点求a,b的值; (2)利用(1)得f(x)的解析式,将f(x)1等价转化为xln xxe-x- ,构造函数g(x)=xln x,h(x)=xe-x- ,再利 用导数分别求出g(x)min,h(x)max,进而得g(x)h(x),从而证得原不等式成立. 方法总结 证明不等式,可构造函数,转化为求解函数最值的问题.,考点二 定积分的运算及应用 1.(2014陕西,3,5分)定积分 (2x+ex)dx的值为 ( ) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1,答案 C (2x+ex)dx=(x2+ex) =1+e1-1=e,故选C.,2.(2014山东,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ( ) A.2 B.4 C.2 D.4,答案 D 由 得x=0或x=2或x=-2(舍). S= (4x-x3)dx= =4. 评析 本题考查利用定积分求面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.,3.(2011课标,9,5分)由曲线y= ,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为 ( ) A. B.4 C. D.6,答案 C 如图阴影部分面积即为所求,求得曲线y= 与直线y=x-2的交点为A(4,2), S阴影= = . 错因分析 由被积函数求原函数时出错是致错的主要原因. 评析 本题考查定积分运算及定积分的几何意义,属容易题.,4.(2015陕西,16,5分)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物 线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .,答案 1.2,考点一 导数的概念及其几何