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第18练推理与证明明考情推理与证明在高考中少数年份考查,小题中多以数表(阵)、图形、不等式等为指导,考查合情推理,难度为中档.知考向1.合情推理.2.演绎推理.3.推理与证明的综合应用.考点一合情推理方法技巧(1)归纳推理的思维步骤:发现共性,归纳猜想,结论验证.(2)类比推理的思维步骤:观察比较,联想类推,猜测结论.1.观察下列各式:ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,则a10b10等于()A.28 B.76C.123 D.199答案C解析观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11,其规律为从第三项起,每项等于其前面相邻两项的和,所求值为数列中的第10项.继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,第10项为123,即a10b10123.2.平面内凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸十三边形的对角线条数为()A.42 B.65C.143 D.169答案B解析可以通过列表归纳分析得到:多边形45678对角线223234234523456凸十三边形有2341165(条)对角线.3.(2017甘肃模拟)一个三角形可分为以内切圆半径为高,以原三角形三条边为底的三个三角形,类比此方法,若一个三棱锥的体积V2,表面积S3,则该三棱锥内切球的体积为()A.81 B.16C. D.答案C解析由一个三角形可分为以内切圆半径为高,以原三角形三条边为底的三个三角形,可以类比一个三棱锥分为以内切球半径为高,以原三棱锥四个面为底的四个三棱锥.设三棱锥的四个面的表面积分别为S1,S2,S3,S4,由于内切球到各面的距离等于内切球的半径,V(S1rS2rS3rS4r)Sr,内切球半径r2,该三棱锥内切球的体积为23.4.某综艺节目中有这样一个问题,给出一组数,要你根据规律填出后面的第几个数,现给出一组数:,它的第8个数是_.答案解析将这一组数:,化为:,分母上是2的乘方,分子组成等差数列,奇数项符号为负,偶数项符号为正,则它的第8个数是.5.给出下面四个类比结论:实数a,b,若ab0,则a0或b0;类比复数z1,z2,若z1z20,则z10或z20;实数a,b,若ab0,则a0或b0;类比向量a,b,若ab0,则a0或b0;实数a,b,若a2b20,则ab0;类比复数z1,z2,有zz0,则z1z20;实数a,b,若a2b20,则ab0;类比向量a,b,若a2b20,则ab0.其中类比结论正确的个数是_.答案2解析显然正确;中若ab,则ab0,错误;中取z11,z2i,则zz0,错误;中a2|a|2,b2|b|2,若a2b20,则|a|b|0,ab0,正确.综上,正确结论的个数是2.考点二演绎推理要点重组演绎推理的特点:从一般到特殊;演绎推理的一般形式是三段论.方法技巧新定义问题的解题思路:读懂新定义的含义,在领会新定义实质的基础上,将其应用在具体情境中进行演绎推理,得到新的结论.6.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行,同旁内角互补,如果A和B是两条平行直线的同旁内角,则AB180B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质C.某校高三共有10个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班都超过50人D.在数列an中,a11,an(n2),计算a2,a3,a4,由此推测通项an答案A解析演绎推理是由一般到特殊的推理,显然选项A符合;选项B属于类比推理;选项C,D是归纳推理.7.(2017绵阳模拟)若一个三位自然数的各位数字中,有且仅有两个数字一样,我们把这样的三位自然数定义为“单重数”,例:112,232,则不超过200的“单重数”个数是()A.19 B.27 C.28 D.37答案C解析由题意,不超过200,两个数字一样为0,有2个;两个数字一样为1,110,101,112,121,113,131,114,141,115,151,116,161,117,171,118,181,119,191,有18个;两个数字一样为2,122,有1个;同理两个数字一样为3,4,5,6,7,8,9,各1个.综上所述,不超过200的“单重数”个数是218828.8.对于任意的两个实数对(x1,y1)和(x2,y2),规定:(x1,y1)(x2,y2),当且仅当运算“”为(x1,y1)(x2,y2)(x1x2y1y2,y1x2x1y2);运算“”为(x1,y1)(x2,y2)(x1x2,y1y2).设k,nR,若(1,2)(k,n)(3,1),则(1,2)(k,n)_.答案(2,1)解析由(1,2)(k,n)(3,1),得解得所以(1,2)(k,n)(1,2)(1,1)(2,1).9.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,xn,都有f .若ysin x在区间(0,)上是凸函数,那么在ABC中,sin Asin Bsin C的最大值是_.答案解析由题意知,凸函数满足f ,又ysin x在区间(0,)上是凸函数,则sin Asin Bsin C3sin3sin.10.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.具体数列为:1,1,2,3,5,8,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列an为“斐波那契”数列,Sn为数列an的前n项和,则(1)S7_;(2)若a2 017m,则S2 015_.(用m表示)答案(1)33(2)m1解析(1)S71123581333.(2)an2anan1anan1ananan1an2an1anan1an2an3an2anan1an2an3a2a11,S2 015a2 0171m1.考点三推理与证明的综合应用要点重组(1)反证法的证题步骤:反设、归谬、存真.(2)以实际问题为背景的推理问题,可利用归纳、分类、反证等多种方法进行推理论证.11.设a,b,c(,0),则a,b,c()A.都不大于2B.都不小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2答案C解析假设a,b,c都大于2,即a2,b2,c2,将三式相加,得abc6,又因为a2,b2,c2,所以abc6,矛盾,所以假设不成立,故选C.12.(2017武昌区模拟)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下:甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案B解析乙、丁供词同真或同假,假设乙、丁同真,可知甲真,和题中条件矛盾,故乙、丁同假,甲、丙两人说的真话,易知罪犯是乙.13.用反证法证明命题:“三角形的三个内角中至少有一个不大于60”时,假设正确的是()A.假设三个内角都不大于60B.假设三个内角都大于60C.假设三个内角至多有一个大于60D.假设三个内角至多有两个不大于60答案B14.已知结论:在正三角形ABC中,若D是边BC的中点,G是三角形ABC的中心,则2.若把该结论推广到空间,则有结论:在棱长都相等的四面体ABCD中,若BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等,则等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析由于四面体ABCD是正四面体,因此AM平面BCD,且O在AM上,设BCD的面积为S,四面体ABCD的体积为V,则VV三棱锥OABCV三棱锥OABDV三棱锥OACDV三棱锥OBCD4SOM,又VSAM,所以4SOMSAM,故AM4OM,所以3,故选C.15.(2017虎林市校级模拟)甲、乙、丙三人代表班级参加校运会的跑步、跳远、铅球比赛,每人参加一项,每项都要有人参加,他们的身高各不相同,现了解到以下情况:(1)甲不是最高的;(2)最高的没报铅球;(3)最矮的参加了跳远;(4)乙不是最矮的,也没参加跑步.可以判断丙参加的比赛项目是_.答案跑步解析由(4)可知,乙参加了铅球比赛,由(2)可知乙不是最高的,所以三人中乙身高居中;再由(1)可知,甲是最矮的,参加了跳远,所以丙最高,参加了跑步比赛.1.已知12123,1222235,122232347,12223242459,则1222n2_.(其中nN*)答案n(n1)(2n1)解析根据题意可归纳出1222n2n(n1)(2n1),下面给出证明:(k1)3k33k23k1,则2313312311,3323322321,(n1)3n33n23n1,累加得(n1)3133(1222n2)3(12n)n,整理得1222n2n(n1)(2n1).2.(2017咸阳二模)观察下列式子:2,8,根据以上规律,第n个不等式是_.答案3.老师带甲、乙、丙、丁四名同学去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情况,四名学生回答如下:甲说:“我们四人都没能考好”.乙说:“我们四人中有人考得好”.丙说:“乙和丁至少有一人没考好”.丁说:“我没考好”.结果,四名学生中有两人说对了,则四名学生中_两人说对了.答案乙和丙解析如果甲对,则丙、丁都对,与题意不符,故甲错,乙对,如果丙错,则丁错,因此只能是丙对,丁错,故只有乙和丙两人说对了.解题秘籍(1)新定义问题的关键是明确新定义的实质,结合所学知识,将问题转化为熟悉的、已掌握的问题.(2)实际问题和推理相结合,要按照可能发生的情况全面论证,去伪存真,找到问题的答案.1.如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n1,nN)个点,相应的图案中总的点数记为an,则等于()A. B. C. D.答案C解析每条边有n个点
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