专题跟踪检测（十七） 概率、随机变量及其分布列一、全练保分考法保大分1(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.B.C. D.解析：选C不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C45种情况，而和为30的有723,1119,1317这3种情况，所求概率为.故选C.2(2018武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2bx10有实数解的概率是()A. B.C. D.解析：选C投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为a和b的组合有36种，若方程ax2bx10有实数解，则b24a0，b24a.当b1时，没有a符合条件；当b2时，a可取1；当b3时，a可取1,2；当b4时，a可取1,2,3,4；当b5时，a可取1,2,3,4,5,6；当b6时，a可取1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有19种，则方程ax2bx10有实数解的概率P.3(2018合肥质检)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4)现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在98,104内的产品估计有()附：若X服从正态分布N(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5.A3 413件B4 772件C6 826件 D8 186件解析：选D由题意知100，2，则P(98X104)P(X)P(2X2)0.818 6，所以质量在98,104内的产品估计有10 0000.818 68 186件4.(2019届高三洛阳联考)如图，圆O：x2y22内的正弦曲线ysin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是()A. B.C. D.解析：选B由题意知圆O的面积为3，正弦曲线ysin x，x，与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得区域M的面积S2sin xdx2cos x4，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P，故选B.5(2018潍坊模拟)某篮球队对队员进行考核，规则是：每人进行3个轮次的投篮；每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是()A3 B.C2 D.解析：选B每个轮次甲不能通过的概率为，通过的概率为1，因为甲3个轮次通过的次数X服从二项分布B，所以X的数学期望为3.6.(2018潍坊模拟)如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是()A. B.C. D.解析：选C设正六边形的中心为点O，BD与AC交于点G，BC1，则BGCG，BGC120，在BCG中，由余弦定理得1BG2BG22BG2cos 120，得BG，所以SBCGBGBGsin 120，因为S六边形ABCDEFSBOC611sin 606，所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1.7(2018福州模拟)某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸伞)的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是_解析：记脱胎漆器、角梳、油纸伞的宣传画分别为a，b，c，则并排贴的情况有abc，acb，bac，bca，cab，cba，共6种，其中b，c相邻的情况有abc，acb，bca，cba，共4种，故由古典概型的概率计算公式，得所求概率P.答案：8(2018唐山模拟)向圆(x2)2(y)24内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为_解析：如图，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为22，所以向圆(x2)2(y)24内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P.答案：9从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是_解析：设事件A为“抽到的两张都是假钞”，事件B为“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率为P(A|B)，因为P(AB)P(A)，P(B)，所以P(A|B).答案：10.(2018唐山模拟)某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值和标准差；(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N(，2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数参考数据：5.66，5.68，5.70.正态总体N(，2)在区间(2，2)内取值的概率约为0.954.解：(1)(78101517192123)15，2(8)2(7)2(5)2022242628232.25.所以5.68.所以估计甲每场比赛中得分的均值为15，标准差为5.68.(2)由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率P(X26)1P(2X2)(10.954)0.023，设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y，则YB(82,0.023)Y的均值E(Y)820.0231.886.由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数为1.886.11某化妆品公司从国外进口美容型和疗效型两种化妆品，分别经过本公司的两条生产线分装后进行销售，两种化妆品的标准质量都是100克/瓶，误差不超过5克/瓶即视为合格产品，否则视为不合格产品现随机抽取两种产品各60瓶进行检测，检测结果统计如下：质量/克90,95)95,100)100,105)105,110美容型化妆品/瓶5222310疗效型化妆品/瓶5211915(1)根据上述检测结果，若从这两种化妆品中各任取一瓶，以频率作为概率，分别计算这两瓶化妆品为合格产品的概率；(2)对于一瓶美容型化妆品，若是合格产品，则可获得的利润为a(单位：百元)，若不是合格产品，则亏损a2(单位：百元)；对于一瓶疗效型化妆品，若是合格产品，则可获得的利润为a(单位：百元)，若不是合格产品，则亏损2a2(单位：百元)那么当a为何值时，该公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最大？解：(1)由表可知，任取一瓶美容型化妆品，其为合格产品的概率为；任取一瓶疗效型化妆品，其为合格产品的概率为.(2)记X为任意一瓶美容型化妆品和一瓶疗效型化妆品所获得的利润之和，则X的所有可能取值为a，a2a2，aa2，3a2，则P，P(Xa2a2)，P，P(X3a2)，所以随机变量X的分布列为Xaa2a2aa23a2P所以E(X)a(a2a2)(3a2)a2a(a2)2，所以当a2时，E(X)取得最大值，即当a为2时，该公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最大12(2019届高三贵阳模拟)从A地到B地共有两条路径L1和L2，经过这两条路径所用的时间互不影响，且经过L1和L2所用时间的频率分布直方图分别如图(1)和(2)现甲选择L1或L2在40分钟内从A地到B地，乙选择L1或L2在50分钟内从A地到B地(1)求图(1)中a的值；并回答，为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数，针对(1)中的选择方案，求X的分布列和数学期望解：(1)由图(1)可得(0.010.023a)101，解得a0.03，用Ai表示甲选择Li(i1,2)在40分钟内从A地到B地，用Bi表示乙选择Li(i1,2)在50分钟内从A地到B地，则P(A1)(0.010.020.03)100.6，P(A2)(0.010.04)100.5，因为P(A1)P(A2)，所以甲应选择L1.又P(B1)(0.010.020.030.02)100.8，P(B2)(0.010.040.04)100.9，因为P(B2)P(B1)，所以乙应选择L2.(2)用M，N分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙两人在各自允许的时间内赶到B地，由(1)知P(M)0.6，P(N)0.9，X的可能取值为0,1,2.由题意知，M，N相互独立，P(X0)0.40.10.04，P(X1)0.40.90.60.10.42，P(X2)0.60.90.54，X的分布列为X012P0.040.420.54E(X)00.0410.4220.541.5.13(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0；当p(0.1,1)时，f(p)400，故应该对余下的产品作检验二、加练大题考法少失分1.(2018郑州质检)为了减少雾