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重点增分专题三导数的简单应用全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2018奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程T5利用导数的几何意义求切线方程T13利用导数的几何意义求参数值T14利用导数讨论函数的单调性T21(1)2017利用导数讨论函数的单调性T21(1)导数的运算、利用导数求函数极值T112016函数的奇偶性、利用导数的几何意义求切线方程T15利用导数公式直接求导T21(1)(1)高考对导数的几何意义的考查,多在选择题、填空题中出现,难度较小,有时出现在解答题第一问(2)高考重点考查导数的应用,即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题,多在选择、填空的后几题中出现,难度中等;有时也出现在解答题第一问(3)近几年全国课标卷对定积分及其应用的考查极少,题目一般比较简单,但也不能忽略 保分考点练后讲评大稳定1.(2018全国卷)曲线y2ln x在点(1,0)处的切线方程为_解析:因为y,y|x12,所以切线方程为y02(x1),即y2x2.答案:y2x22.曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1,则点P的坐标为_解析:f(x)3x21,令f(x)2,则3x212,解得x1或x1,P(1,3)或 (1,3),经检验,点(1,3),(1,3)均不在直线y2x1上,故点P的坐标为(1,3)和(1,3)答案:(1,3)和(1,3)3.(2018全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2,则a_.解析:y(axa1)ex,当x0时,ya1,a12,解得a3.答案:34.曲线f(x)x32x22过点P(2,0)的切线方程为_解析:因为f(2)23222220,所以点P(2,0)不在曲线f(x)x32x22上设切点坐标为(x0,y0),则x0,因为f(x)3x24x,所以消去y0,整理得(x01)(x3x01)0,解得x01或x0(舍去)或x0(舍去),所以y01,f(x0)1,所以所求的切线方程为y1(x1),即yx2.答案:yx25.若曲线yln(xa)的一条切线为yexb,其中a,b为正实数,则a的取值范围是_解析:因为yln(xa),所以y.设切点为(x0,y0),则有所以bae2.因为b0,所以a,所以aaa2(当且仅当a1时取等号),所以a的取值范围是2,)答案:2,)解题方略1求曲线yf(x)的切线方程的3种类型及方法类型方法已知切点P(x0,y0),求切线方程求出切线的斜率f(x0),由点斜式写出方程已知切线的斜率k,求切线方程设切点P(x0,y0),通过方程kf(x0)解得x0,再由点斜式写出方程已知切线上一点(非切点),求切线方程设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程2由曲线的切线求参数值或范围的2种类型及解题关键类型解题关键已知曲线在某点处的切线求参数关键是用“方程思想”来破解,先求出函数的导数,从而求出在某点处的导数值;再根据导数的几何意义与已知条件,建立关于参数的方程,通过解方程求出参数的值已知曲线的切线方程,求含有双参数的代数式的取值范围关键是过好“双关”:一是转化关,即把所求的含双参数的代数式转化为含单参数的代数式,此时需利用已知切线方程,寻找双参数的关系式;二是求最值关,常利用函数的单调性、基本不等式等方法求最值,从而得所求代数式的取值范围小创新1.已知函数f(x)x2ax的图象在点A(1,f(1)处的切线l与直线x3y10垂直,记数列的前n项和为Sn,则S2 018的值为()A.B.C.D.解析:选D由题意知f(x)x2ax的图象在点A(1,f(1)处的切线斜率kf(1)2a3a1,故f(x)x2x.则,S2 01811.2.曲线f(x)x33x2在点(1,f(1)处的切线截圆x2(y1)24所得的弦长为()A4 B2C2 D.解析:选A因为f(x)3x26x,则f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率k363,又f(1)2,故切线方程为y23(x1),即3xy10.因为圆心C(0,1)到直线3xy10的距离d0,所以直线3xy10截圆x2(y1)24所得的弦长就是该圆的直径4,故选A.3.已知函数f(x)xsin xcos x的图象在点A(x0,y0)处的切线的斜率为1,则tan x0_.解析:f(x)xsin xcos x,f(x)cos xsin xsin.函数f(x)的图象在点A(x0,y0)处的切线斜率为1,sin1,x02k,kZ,x02k,kZ,tan x0tan.答案: 析母题典例已知函数f(x)ex(exa)a2x,讨论f(x)的单调性解函数f(x)的定义域为(,),f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0,则f(x)e2x在(,)上单调递增若a0,则由f(x)0,得xln a.当x(,ln a)时,f(x)0;当x(ln a,)时,f(x)0.故f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增若a0,则由f(x)0,得xln.当x时,f(x)0;当x时,f(x)0.故f(x)在上单调递减,在上单调递增练子题1若本例中f(x)变为f(x)ln x,aR且a0,讨论函数f(x)的单调性解:函数f(x)的定义域为(0,),则f(x).当a0恒成立,函数f(x)在(0,)上单调递增当a0时,由f(x)0,得x;由f(x)0,得0x,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减综上所述,当a0时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减2若本例变为:已知函数f(x)ex(exa)a2x在1,)上单调递增,求实数a的取值范围解:由本例解析知f(x)(2exa)(exa),f(x)在1,)上单调递增,则f(x)0在1,)上恒成立,(2exa)(exa)0,2exaex在1,)上恒成立,2eae,实数a的取值范围为2e,e3若本例变为:函数f(x)ex(exa)a2x在1,)上存在单调递减区间,求实数a的取值范围解:由本例解析知f(x)2e2xaexa2,设tex,x1,),te,),即g(t)2t2ata2在e,)上有零点g(e)2e2aea2e或a0)由得0x1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)2已知函数f(x)在定义域R内可导,f(x)f(2x),且当x(,1)时,(x1)f(x)0.设af(0),bf,cf(3),则a,b,c的大小关系为()Acab BcbaCabc Dbca解析:选A依题意得,当x0,函数f(x)为增函数又f(3)f(1),101,f(1)f(0)f,即f(3)f(0)f,cab.3已知函数f(x)x2ln x在其定义域内的一个子区间(a1,a1)内不是单调函数,求实数a的取值范围解:法一:由已知得f(x)的定义域为(0,),函数f(x)x2ln x在区间(a1,a1)上不单调,f(x)2x在区间(a1,a1)上有零点由f(x)0,得x,则得1a0,得x,令f(x)0,得0x,即函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.若函数f(x)在其定义域内的一个子区间(a1,a1)内是单调函数,则a1或即a,函数f(x)在其定义域内的一个子区间(a1,a1)内不是单调函数,需满足1a0)在1,)上的最大值为,则a的值为()A.1B.C.D.1(2)已知函数f(x)2ln x2axx2有两个极
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