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重点增分专题八空间位置关系的判断与证明全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2018直线与平面所成的角、正方体的截面T12求异面直线所成的角T9面面垂直的证明T19(1)面面垂直的证明T18(1)线面垂直的证明T20(1)2017面面垂直的证明T18(1)求异面直线所成的角T10圆锥、空间线线角的求解T16线面平行的证明T19(1)面面垂直的证明T19(1)2016求异面直线所成的角T11空间中线、面位置关系的判定与性质T14线面平行的证明T19(1)面面垂直的证明T18(1)翻折问题、线面垂直的证明T19(1)(1)高考对此部分的命题较为稳定,一般为“一小一大”或“一大”,即一道选择题(或填空题)和一道解答题或只考一道解答题(2)选择题一般在第911题的位置,填空题一般在第14题的位置,多考查线面位置关系的判断,难度较小(3)解答题多出现在第18或19题的第一问的位置,考查空间中平行或垂直关系的证明,难度中等 空间点、线、面的位置关系 大稳定1.已知是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m,n,且Am,A,则m,n的位置关系不可能是()A垂直B相交C异面 D平行解析:选D因为是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,m,n,且Am,A,所以n在平面内,m与平面相交,且A是m和平面相交的点,所以m和n异面或相交,一定不平行2.已知直线m,l,平面,且m,l,给出下列命题:若,则ml;若,则ml;若ml,则;若ml,则.其中正确的命题是()A BC D解析:选A对于,若,m,则m,又l,所以ml,故正确,排除B.对于,若ml,m,则l,又l,所以.故正确故选A.3.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有()AAG平面EFH BAH平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF解析:选B根据折叠前、后AHHE,AHHF不变,得AH平面EFH,B正确;过A只有一条直线与平面EFH垂直,A不正确;AGEF,EFGH,AGGHG,EF平面HAG,又EF平面AEF,平面HAGAEF,过H作直线垂直于平面AEF,一定在平面HAG内,C不正确;由条件证不出HG平面AEF,D不正确故选B.4.(2018全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. B.C. D.解析:选C如图,连接BE,因为ABCD,所以AE与CD所成的角为EAB.在RtABE中,设AB2,则BE,则tan EAB,所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.解题方略 判断与空间位置关系有关命题真假的3种方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断(2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结合有关定理,进行肯定或否定(3)借助于反证法,当从正面入手较难时,可利用反证法,推出与题设或公认的结论相矛盾的命题,进而作出判断小创新1.设l,m,n为三条不同的直线,其中m,n在平面内,则“l”是“lm且ln”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:选A当l时,l垂直于内的任意一条直线,由于m,n,故“lm且ln”成立,反之,因为缺少m,n相交的条件,故不一定能推出“l”,故选A.2.某折叠餐桌的使用步骤如图所示,有如下检查项目项目:折叠状态下(如图1),检查四条桌腿长相等;项目:打开过程中(如图2),检查OMONOMON;项目:打开过程中(如图2),检查OKOLOKOL;项目:打开后(如图3),检查123490;项目:打开后(如图3),检查ABCDABCD.在检查项目的组合中,可以判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是()A BC D解析:选BA选项,项目和项目可推出项目,若MONMON,则MN较低,MN较高,所以不平行,错误;B选项,因为123490,所以平面ABCD平面ABCD,因为ABAB,所以AA平行于地面,由知,O1O1AA平面MNNM,所以桌面平行于地面,故正确;C选项,由得,OMON,O1AAA,O1AAA,ABAB,所以AABB,但O1A与O1A是否相等不确定,所以不确定O1O1与BB是否平行,又O1O1MN,所以不确定BB与MN是否平行,故错误;D选项,OKOLOKOL,所以AABB,但不确定OM与ON,OM,ON的关系,所以无法判断MN与地面的关系,故错误综上,选B.3.(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为()A8 B6C8 D8解析:选C如图,连接AC1,BC1,AC.AB平面BB1C1C,AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角,AC1B30.又ABBC2,在RtABC1中,AC14.在RtACC1中,CC12,V长方体ABBCCC12228.4.(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45,若SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为_解析:如图,SA与底面成45角,SAO为等腰直角三角形设OAr,则SOr,SASBr.在SAB中,cos ASB,sin ASB,SSABSASBsin ASB(r)25,解得r2,SAr4,即母线长l4,S圆锥侧rl2440.答案:40 空间平行、垂直关系的证明 析母题典例如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.证明(1)平面PAD底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,PA平面PAD,PA底面ABCD.(2)ABCD,CD2AB,E为CD的中点,ABDE,且ABDE.四边形ABED为平行四边形BEAD.又BE平面PAD,AD平面PAD,BE平面PAD.(3)ABAD,且四边形ABED为平行四边形BECD,ADCD,由(1)知PA底面ABCD.PACD.PAADA,PA平面PAD,AD平面PAD,CD平面PAD,又PD平面PAD,CDPD.E和F分别是CD和PC的中点,PDEF,CDEF.又BECD且EFBEE,CD平面BEF.又CD平面PCD,平面BEF平面PCD.练子题1在本例条件下,证明平面BEF平面ABCD.证明:如图,连接AE,AC,设ACBEO,连接FO.ABCD,CD2AB,且E为CD的中点,AB綊CE.四边形ABCE为平行四边形O为AC的中点,则FO綊PA,又PA平面ABCD,FO平面ABCD.又FO平面BEF,平面BEF平面ABCD.2在本例条件下,若ABBC,求证BE平面PAC.证明:如图,连接AE,AC,设ACBEO.ABCD,CD2AB,且E为CD的中点AB綊CE.又ABBC,四边形ABCE为菱形,BEAC.又PA平面ABCD,BE平面ABCD,PABE.又PAACA,PA平面PAC,AC平面PAC,BE平面PAC.解题方略1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理:a,b,aba.(2)线面平行的性质定理:a,a,bab.(3)面面平行的判定定理:a,b,abP,a,b.(4)面面平行的性质定理:,a,bab.2直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理:m,n,mnP,lm,lnl.(2)线面垂直的性质定理:a,bab.(3)面面垂直的判定定理:a,a.(4)面面垂直的性质定理:,l,a,ala.多练强化1.(2019届高三郑州模拟)如图,四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点求证:(1)BE平面DMF;(2)平面BDE平面MNG.证明:(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为ABE的中位线,所以BEMO,又BE平面DMF,MO平面DMF,所以BE平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DEGN,又DE平面MNG,GN平面MNG,所以DE平面MNG.又M为AB的中点,N为AD的中点,所以MN为ABD的中位线,所以BDMN,又BD平面MNG,MN平面MNG,所以BD平面MNG,又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE平面MNG.2.如图,在四棱锥PABCD中,平面PAB平面ABCD,ADBC,PAAB,CDAD,BCCDAD.(1)求证:PACD.(2)求证:平面PBD平面PAB.证明:(1)因为平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCDAB,又因为PAAB,所以PA平面ABCD,又CD平面ABCD,所以PACD.(2)取AD的中点为E,连接BE,由已知得,BCED,且BCED,所以四边形BCDE是平行四边形,又CDAD,BCCD,所以四边形BCDE是正方形,连接CE,所以BDCE.又因为BCAE,BCAE,所以四边形ABCE是平行四边形,所以CEAB,则BDAB.由(1)知PA平面ABCD,所以PABD,又因为PAABA,所以BD平面PAB,因为BD平面PBD,所以平面PBD平面PAB. 平面图形中的折叠问题
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