备考技法专题一 解题常用 8 术系统归纳串一串方法第1术探求思路，图作向导方法概述对题设条件不够明显的数学问题求解，注重考查相关的图形，巧用图形作向导是思维入手和领会题意的关键所在尤其是对一些复合函数、三角函数、不等式等形式给出的命题，其本身虽不带有图形，但我们可换个角度思考，设法构造相应的辅助图形进行分析，将代数问题转化为几何问题来解力争做到有图用图，无图想图，补形改图，充分运用其几何特征的直观性来启迪思维，从而较快地获得解题的途径这就是我们常说的图解法应用题型选择题、填空题、解答题中均有应用，主要涉及最值、不等式、取值范围等问题例1(1)用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)min2x，x2,10x(x0)，则f(x)的最大值为()A4B5C6 D7解析画出y2x，yx2，y10x的图象如图所示，观察图象可知f(x)所以f(x)的最大值在x4时取得，且为6.答案C(2)已知函数y的图象与函数ykx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_解析y作出其图象如图所示，结合图象可知0k1或1k2.答案(0,1)(1,2)例2已知f(x)则不等式f(x)x2的解集为()A1,1 B2,2C2,1 D1,2解析分别作出f(x)和yx2的图象如图所示由图可知，f(x)x2的解集为1,1答案A例3(1)设a，b，c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为()A2 B.2C1 D1解析由于(ac)(bc)(ab)c1，因此等价于求(ab)c的最大值，这个最大值只有当向量ab与向量c同向共线时取得由于ab0，故ab，如图所示，|ab|，|c|1.当0时，(ab)c取得最大值且最大值为.故所求的最小值为1.答案D(2)已知ABC的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)，(2,2)， (cos ，sin )，则AOB的取值范围为_解析由|，可知点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，为半径的圆过原点O作圆的切线，切点分别为M，N，如图所示，连接CM，CN，则向量与的夹角的取值范围是MOB，NOB由图可知COB，因为|2，由|，知COMCON，所以BOM，BON，所以，故AOB的取值范围为.答案例4已知F1，F2分别为双曲线x21的左、右焦点，点P为右支上一点，O为坐标原点若向量与的夹角为120，则点F2到直线PF1的距离为()A. B.C2 D.解析如图，取PF2的中点M，连接OM，则2，故，120，OMF260.因为O为F1F2的中点，所以OMPF1，所以F1PF2OMF260.在F1PF2中，设|PF1|m，|PF2|n，因为a1，b，所以c，由余弦定理得，cosF1PF2，即cos 60，整理得m2n2mn28，所以解得过点F2作F2NPF1于N，在RtPF2N中，|F2N|PF2|sin 602，即点F2到直线PF1的距离为2.答案C应用体验1定义在R上的函数yf(x2)的图象关于直线x2对称，且函数f(x1)是偶函数若当x0,1时，f(x)sin，则函数g(x)f(x)e|x|在区间2 018，2 018上的零点个数为()A2 017 B2 018C4 034 D4 036解析：选D由yf(x2)的图象关于直线x2对称，得f(x)是偶函数，即f(x)f(x)因为当x0,1时，f(x)sin，所以当x1,0时，f(x)f(x)sin.因为函数f(x1)是偶函数，所以f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)f(x)，故f(x)是周期为2的偶函数作出函数yf(x)与函数ye|x|的图象如图所示，可知每个周期内两个图象有两个交点，所以函数g(x)f(x)e|x|在区间2 018,2 018上的零点个数为2 01824 036.2在平面上， ，|1， ，若|，则|的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D根据，可知四边形AB1PB2是一个矩形以A为坐标原点，AB1，AB2所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系设|AB1|a，|AB2|b.点O的坐标为(x，y)，点P(a，b)|1，变形为|，(xa)2(yb)2，1x21y2.(xa)2y21，y21.同理，x21.x2y22.由可知：x2y22.|，0，b0)的左焦点F(c,0)(c0)，作圆x2y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若()，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：选A由题意可知E为FP的中点，且OEFP.记F为双曲线的右焦点，作出示意图如图，连接FP，则FP綊2OE，所以FPFP，且|FP|a，故由双曲线的定义可得|FP|3a.所以(2c)2a2(3a)2，所以e.4已知a0，b0，则不等式ab的解是()A.B.C.D.解析：选D法一：直接求解法bax，故选D.法二：数形结合法利用y的图象，如图所示，故选D.5已知关于x的方程|x|ax1有一个负根，但没有正根，则实数a的取值范围是_解析：在同一平面直角坐标系中分别作出y|x|，yax1，yx1的图象由图可知，当直线yax1的斜率a1时，直线yax1与y|x|的图象有且仅有y轴左侧一个交点，即|x|ax1有一个负根，但没有正根答案：1，)6已知a，b为单位向量，ab0，若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围为_解析：令a，b， ab，c，如图所示，则|.又|cba|1，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上易知点C与O，D共线时|取到最值，最大值为1，最小值为1，所以|c|的取值范围为1，1答案：1，1第2术解题常招，设参换元方法概述在解答数学问题时，我们常把某个代数式看成一个新的未知数，或将某些变元用另一参变量的表达式来替换，以便将所求的式子变形，优化思考对象，让原来不醒目的条件，或隐含的信息显露出来，促使问题的实质明朗化，使非标准型问题标准化，从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉，从中找出解题思路这种通过换元改变式子形式来变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去考查、探究解题思路的做法，就是设参换元法，也就是我们常说的换元法应用题型此方法既适用选择题、填空题，也适用于解答题，多在研究方程、不等式、函数、三角、解析几何中广泛应用例1已知x，yR，满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_常规解法由x22xy4y26，得2xy6(x24y2)，而2xy，所以6(x24y2)，所以x24y24，当且仅当x2y时，取等号又因为(x2y)262xy0，即2xy6，所以zx24y262xy12，综上可得4x24y212.提速解法已知x22xy4y26，即(xy)2(y)2()2，故设xycos ，ysin ，即xcos sin ，ysin .则zx24y262xy62(cos sin )sin 84sin.所以84z84，即z的取值范围为4,12答案4,12例2已知椭圆C方程为y21，且直线l：ykxm与圆O：x2y21相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求OMN面积的最大值解圆O的圆心为坐标原点，半径r1，由直线l：ykxm，即kxym0与圆O：x2y21相切，得1，故有m21k2.由消去y得(4k21)x28kmx4m240.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|x1x2|2(x1x2)24x1x224.将代入，得|x1x2|2，故|x1x2|.所以|MN|x1x2|.故OMN的面积S|MN|1.令t4k21(t1)，则k2，代入上式，得S2 ，所以当t3，即4k213，解得k时，S取得最大值，且最大值为1.例3已知u1，v1且(logau)2(logav)2loga(au2)loga(av2)(a1)，则loga(uv)的最大值和最小值分别为_，_.解析令xlogau，ylogav，则x0，y0.已知等式可化为(x1)2(y1)24(x0，y0)再设tloga(uv)xy(x0，y0)，由图可知，当线段yxt(x0，y0)与圆弧(x1)2(y1)24(x0，y0)相切时(图中CD位置)，截距t取最大值，tmax22；当线段端点是圆弧端点时(图中AB位置)，截距t取最小值，tmin1.因此loga(uv)的最大值是22，最小值是1.答案221提醒利用两次换元探究动点的轨迹方程，数形结合使问题变得直观换元中应注意旧变量对新变量的限制应用体验1椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B，当FAB的周长最大时，FAB的面积为_解析：已知1，则F(1,0)设A(2cos ，sin )，B(2cos ，sin )，则|AF|BF|2cos ，故FAB的周长l2(2cos )2sin 44sin.当时，l取得最大值，此时FAB的面积为S(12cos )2sin sin (12cos )3.答案：32不等式log2(2x1)log2(2x12)2的解集是_解析：设log2(2x1)y，则log2(2x12)1log2(2x1)y1，故原不等式可化为y(y1)2，解得2y1.所以2log2(2x1)1，解