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立体几何问题重在“建”建模、建系技法指导迁移搭桥 立体几何解答题建模、建系策略立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深解决这类题目的原则是建模、建系建模将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型建系依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.典例(2018全国卷)如图,在三棱锥PABC中,ABBC2,PAPBPCAC4,O为AC的中点(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角MPAC为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值快审题求什么想什么证明线面垂直,想线面垂直成立的条件求线面角的正弦值,想平面的法向量及直线的方向向量给什么用什么给出边的长度,用勾股定理证线线垂直给出二面角的大小,可求出点M的位置差什么找什么差点M的坐标,利用垂直关系建立空间直角坐标系,找出平面PAM,平面PAC的法向量.稳解题(1)证明:因为PAPCAC4,O为AC的中点,所以POAC,且PO2.连接OB,因为ABBCAC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OBAC2.所以PO2OB2PB2,所以POOB.又因为OBACO,所以PO平面ABC.(2)以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),(0,2,2)取平面PAC的一个法向量(2,0,0)设M(a,2a,0)(0a2),则(a,4a,0)设平面PAM的法向量为n(x,y,z)由得令ya,得za,x(a4),所以平面PAM的一个法向量为n(a4),a,a),所以cos,n.由已知可得|cos,n|cos 30,所以,解得a或a4(舍去)所以n.又(0,2,2),所以cos,n.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.题后悟道 利用法向量求解空间角的关键在于“四破”针对训练(2018惠州第二次调研)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,ABC60,PAPB,PC2.(1)求证:平面PAB平面ABCD;(2)若PAPB,求二面角APCD的余弦值解:(1)证明:取AB的中点O,连接CO,PO,四边形ABCD是边长为2的菱形,ABBC2.ABC60,ABC是等边三角形,COAB,OC.PAPB,POAB1.PC2,OP2OC2PC2,COPO.ABPOO,CO平面PAB.CO平面ABCD,平面PAB平面ABCD.(2)PAPB,POAO.由(1)知,平面PAB平面ABCD,PO平面ABCD,直线OC,OB,OP两两垂直以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0),A(0,1,0),C(,0,0),D(,2,0),P(0,0,1)(0,1,1),(,0,1),(0,2,0)设平面APC的法向量为m(x1,y1,z1),由得取x11,得m(1,)为平面APC的一个法向量,设平面PCD的法向量为n(x2,y2,z2),由得取x21,得n(1,0,)为平面PCD的一个法向量,cosm,n,由图知,二面角APCD为锐二面角,二面角APCD的余弦值为. A组大题考点落实练1.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,A1A底面ABCD,四边形ABCD为菱形,A1AAB2,ABC60,E,F分别是BC,A1C的中点(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;(2)点M在线段A1D上,若CM平面AEF,求实数的值解:(1)因为A1A平面ABCD,AE平面ABCD,AD平面ABCD,所以A1AAE,A1AAD.在菱形ABCD中,ABC60,连接AC,则ABC是等边三角形因为E是BC的中点,所以BCAE.因为BCAD,所以AEAD.以A为坐标原点,AE为x轴,AD为y轴,AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),E(,0,0),F,(0,2,0),所以cos,所以异面直线EF,AD所成角的余弦值为.(2)设M(x,y,z),由于点M在线段A1D上,且,所以,则(x,y,z2)(0,2,2)解得M(0,2,22),所以(,21,22)设平面AEF的一个法向量为n(x0,y0,z0)因为(,0,0),所以即取y02,得z01,则平面AEF的一个法向量为n(0,2,1)由于CM平面AEF,则n0,即2(21)(22)0,解得.2.(2019届高三河北三市联考)如图,三棱柱ADEBCG中,四边形ABCD是矩形,F是EG的中点,EAAB,ADAEEF1,平面ABGE平面ABCD.(1)求证:AF平面FBC;(2)求二面角BFCD的正弦值解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,BCAB,又平面ABGE平面ABCD,BC平面ABGE,AF平面ABGE,BCAF.在AFB中,AFBF,AB2,AF2BF2AB2,即AFBF,又BFBCB,AF平面FBC.(2)分别以AD,AB,AE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(1,0,0),C(1,2,0),E(0,0,1),B(0,2,0),F(0,1,1),(1,0,1),(0,2,0),设n1(x,y,z)为平面CDEF的法向量,则即令x1,得z1,即n1(1,0,1)为平面CDEF的一个法向量,取n2(0,1,1)为平面BCF的一个法向量,cosn1,n2,二面角BFCD的正弦值为.3如图,在四棱锥EABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中CDAB,BCAB,侧面ABE平面ABCD,且ABAEBE2BC2CD2,动点F在棱AE上,且EFFA.(1)试探究的值,使CE平面BDF,并给予证明;(2)当1时,求直线CE与平面BDF所成角的正弦值解:(1)当时,CE平面BDF.证明如下:连接AC交BD于点G,连接GF,CDAB,AB2CD,EFFA,GFCE,又CE平面BDF,GF平面BDF,CE平面BDF.(2)取AB的中点O,连接EO,则EOAB,平面ABE平面ABCD,平面ABE平面ABCDAB,EO平面ABCD,连接DO,BOCD,且BOCD1,四边形BODC为平行四边形,BCDO,又BCAB,ABOD,则OD,OA,OE两两垂直,以O为坐标原点,OD,OA,OE所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,1,0),D(1,0,0),C(1,1,0),E(0,0,)当1时,有,F,(1,1,0),(1,1,)设平面BDF的法向量为n(x,y,z),则即令z,得y1,x1,则n(1,1,)为平面BDF的一个法向量,设直线CE与平面BDF所成的角为,则sin |cos,n|,故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为.4(2018成都一诊)如图,在边长为5的菱形ABCD中,AC6,现沿对角线AC把ADC翻折到APC的位置得到四面体PABC,如图所示已知PB4.(1)求证:平面PAC平面ABC;(2)若Q是线段AP上的点,且,求二面角QBCA的余弦值解:(1)证明:取AC的中点O,连接PO,BO.四边形ABCD是菱形,PAPC,POAC.DC5,AC6,OC3,POOB4,PB4,PO2OB2PB2,POOB.OBACO,PO平面ABC.PO平面PAC,平面PAC平面ABC.(2)ABBC,BOAC.故OB,OC,OP两两垂直以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则B(4,0,0),C(0,3,0),P(0,0,4),A(0,3,0)设点Q(x,y,z)由,得Q.(4,3,0),.设n1(x1,y1,z1)为平面BCQ的法向量,由得取x13,则n1(3,4,15)取平面ABC的一个法向量n2(0,0,1)cosn1,n2,二面角QBCA为锐角,二面角QBCA的余弦值为.B组大题专攻补短练1.在三棱锥PABC中,PAPBPC2,BC1,AC,ACBC.(1)求点B到平面PAC的距离(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值解:(1)以C为坐标原点,CA为x轴,CB为y轴,过C作平面ABC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,取AB的中点D,连接PD,DC,因为ACB为直角三角形且AC,BC1,所以AB2,所以PAB为正三角形,所以PDAB且PD.在PDC中,PC2,PD,DC1,所以PC2PD2DC2,所以PDDC,又ABDCD,所以PD平面ABC.则A(,0,0),B(0,1,0),D,P,C(0,0,0),(,0,0),(0,1,0),设平面PAC的法向量n(x,y,z),则即取y2,得n(0,2,1)为平面PAC的一个法向量,所以点B到平面PAC的距离d.(2)因为,(0,1,0),设异面直线PA与BC所成角为,则cos .所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为.2.已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是梯形,BCAD,ABAD,且ABBC1,AD2,顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上,PAPD.(1)求证:平面PAB平面PAD;(2)若直线AC与PD所成角为60,求二面角APCD的余弦值解:(1)证明:PH平面ABCD,AB平面ABCD,PHAB.ABAD,ADPHH,AD平面PAD,PH平面PAD,AB平面PAD.又AB平面PAB,平面PAB平面PAD.(2)以A为坐标原点,建立如图所示的空
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