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1 第第 2626 练练 不等式选讲不等式选讲【文文】 一一. .题型考点对对练题型考点对对练 1.(与含绝对值不等式的解法)设函数 246f xxx . (1)求不等式 0f x 的解集; (2)若 2f xax存在实数解,求实数a的取值范围. (2) 2f xax等价于2262xxax,等价于26xxa, 而 26268xxxx,若 2f xax存在实数解,则8a ,即 实数a的取值范围是,8. 2.(求解与绝对值不等式相关的最值问题)已知函数 2132f xxx ,且不等式 5f x的解集为 43 | 55 ab xx, a, Rb. (1)求a, b的值; (2)对任意实数x,都有 2 35xaxbmm成立,求实数m的最大值. 【解析】 (1)若 1 2 x,原不等式可化为21 325xx ,解得 4 5 x ,即 41 52 x; 若 12 23 x,原不等式可化为21 325xx ,解得2x,即 12 23 x; 若 2 3 x ,原不等式可化为21 325xx ,解得 6 5 x,即 26 35 x; 综上所述,不等式21325xx 的解集为 4 6 , 5 5 ,所以1a , 2b . (2)由(1)知1a , 2b ,所以1xaxbx 2 2123xxx , 故 2 353mm, 2 320mm,所以12m,即实数m的最大值为 2. 3.(证明不等式)已知, ,a b c为正实数,且3abc (1)解关于c的不等式24cab; (2)证明: 222 3 cab abc 4.(利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法)已知函数 4 (0)f xmxm, 且20f x的解集为3, 1 (1)求m的值; (2)若, ,a b c都是正实数,且 111 23 m abc ,求证: 239abc 【解析】 (I)依题意220f xmx,即222xmmxm , 1m (II)方法 1: 111 1( , ,0) 23 a b c abc , 111 2323 23 abcabc abc 2323 39 2332 abacbc bacacb ,当且仅当23abc,即 3 3 3,1 2 abc时取等号 方法 2: 111 1( , ,0) 23 a b c abc 由柯西不等式得 111 323 23 abc abc 111 23 23 abc abc 整理得239abc,当且仅当23abc,即 3 3,1 2 abc时取等号. 5.(利用不等式性质比较大小)设不等式2120xx 的解集为M, a、 bM ()证明: 111 364 ab; ()比较1 4ab与2 ab的大小,并说明理由 二二. .易错问题纠错练易错问题纠错练 6.(不等式证明方法选择不当至错)已知函数 1f xx (1) 解不等式 810f xf x; (2) 若1x , 1y ,求证: 2 y fyxf x 【解析】 (1)原不等式即为9101xx当9x 时,则9101xx ,解 得10x ; 当91x 时,则9101xx,此时不成立;当1x 时,则9101xx, 解得0x 4 所以原不等式的解集为 |10x x 或0x (2)要证 2 y fyxf x ,即 2 11| y yx x ,只需证明 2 1 1| yy xx 则有 2 22 24 1 yx y xx 2 2 22 4 1xyyx x 2222224 4 22x yx yxyx yx x 22224 4 x yxyx x 222 4 1xxy x 因为 2 |1x , 2 |1y ,则 2 22 24 1 yx y xx 222 4 1 0 xxy x ,所以 2 22 24 1 yx y xx ,原不等式得证 【注意问题】首先利用分析法将要证明的不等式进行等价变形,然后作差结合不等式的特 点和题意证得等价变形后的结论即可证得原不等式成立. 7.(混淆不等式有解与不等式恒成立至错)已知函数 4f xxax(xR, aR)的值域为3,3 ()求实数a的值; ()若存在 0 xR,使得 2 0 2f xmm,求实数m的取值范围 【注意问题】依题意有 2 0 2f xmm的最小值 三三. .新题好题好好练新题好题好好练 8.(1)求不等式1|32|5|xx的解集; (2)若正实数ba,满足 2 1 ba,求证:1ba 【解析】 (1)当 2 3 x时,1325xx,解得7x, 2 3 7x;当 5 5 2 3 x时,1325xx,解得 3 1 x, 3 1 2 3 x;当5x时, 1)32(5xx,解得9x,舍去综上, 3 1 7x故原不等式的解集为 3 1 7|xx (2)证明:要证1ba,只需证12abba,即证 2 1 2ab,即证 4 1 ab, 而abba2 2 1 ,所以 4 1 ab成立,所以原不等式成立 9.已知函数( )12f xxxa,若( )f x的最小值为 2. (1)求实数a的值; (2)若0a ,且,m n均为正实数,且满足mna,求 22 mn的最小值. min ( )()12 22 aa f xfaa ,解得6a 或2a (舍) ;当1 2 a 时, 即2a 时, 3(1),1 ( )1, 1 2 3(1), 2 xa x a f xxax a xax ,则当 2 a x 时, min ( )()12 22 aa f xfaa ,解得6a (舍)或2a ,当 1 2 a 时,即2a ,( )31f xx,此时 min ( )0f x,不满足条件,综上所述, 6a 或2a ; (2)由题意知,6mn, 222 ()2mnmnmn 2222 ()()mnmn 22 2()mn当且仅当3mn时取“” , 22 18mn,所以 22 mn的最小值为 6 18 10.已知函数( ) |3 |f xxaxa (1)若( )f x的最小值为 2,求a的值; (2)若对xR , 1,1a ,使得不等式 2 |( )0mmf x成立,求实数m的取值 范围 【解析】 (1)|3 | |()(3 )| |2 |xaxaxaxaa,当且仅当x取介于a和a3之 间的数时,等号成立,故)(xf的最小值为|2 a,1a; (2)由(1)知)(xf的最小值为|2 a,故 1 , 1a,使|2| 2 amm成立,即 2| 2 mm, 0)2|)(|1|(|mm,22m. 11.已知函数 6f xxx. ()求不等式 10f x 的解集; ()记 f x的最小值为m,若正实数a,b,c满足abcm,求证: 23abcm. ()由()知, f x的最小值为 6,即6m .(或者6xx66xx) , 所以6abc, 由柯西不等式可得123abc 222 abc 222 123 2 23abc 因此23abc6m. 7 12.已知函数 12f xxaxa. (1) 若 13f,求实数a的取值范围; (2) 若1,axR R , 求证: 2fx. 【解析】(1) 因为 13f,所以123aa. 当0a时,得123 aa, 解得 2 3 a,所以 2 0 3 a; 当 1 0 2 a时,得123aa,解得2 a,所 以 1 0 2 a; 当 1 2 a 时,得123aa,解得 4 3 a,所以 14 23 a; 综上所 述,实数a的取值范围是 2 4 , 3 3 . (2) 因为1,axR R , 所以 1212f xxaxaxaxa 31a 31a2.
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