7.3球1.了解球的体积和表面积公式.(重点)2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题. (难点)基础初探教材整理球阅读教材P48“7.3球”一节至P49“例6”以上部分，完成下列问题.1.球的体积：球的半径为R，那么它的体积V球R3.2.球的表面积：球的半径为R，那么它的表面积S球面4R2.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)直径为d的球的表面积S4d2.()(2)若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的半径扩大为原来的4倍.()(3)若球的半径变为原来的2倍，则球的体积变为原来的4倍.()【答案】(1)(2)(3)小组合作型球的表面积与体积的计算 已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于，且ACBC，AB2，求球面面积与球的体积.【精彩点拨】利用已知条件，结合球心与截面圆心连线垂直于截面而构成的直角三角形，求出半径，从而求出球的体积与表面积.【自主解答】如图所示，设球心为O，球半径为R，作OO1平面ABC于O1，由于OAOBOCR，则O1是ABC的外心.由ACBC，AB2，知ABC是AB为斜边的直角三角形，O1是AB的中点，在RtAOO1中，OO1，O1AAB1，OA2，即R2，S球面4R216，V球R3.1.球的表面积和体积只与球的半径有关，因此解决该类问题的关键是如何根据已知条件求出球的半径.2.在求球的半径时，常用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系d.再练一题1.过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48 cm2，试求此球的表面积和体积.【解】如图，设截面圆的圆心为O1，则OO1O1A，O1A为截面圆的半径，OA为球的半径.48O1A2，O1A248.在RtAO1O中，OA2O1O2O1A2，即R248，R8(cm)，S球面4R2464256(cm2)，V球R3(cm3).球的表面积及体积的应用一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形.在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？ 【导学号：39292055】【精彩点拨】设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式来解决.【自主解答】设PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PCh，球取出后水面高PHx，如图所示.ACr，PC3r，以AB为底面直径的圆锥的容积为V圆锥AC2PC(r)23r3r3，V球r3.球取出后水面下降到EF，水的体积为V水EH2PH(PHtan 30)2PHx3.而V水V圆锥V球，即x33r3r3，xr.故球取出后水面的高为r.1.画出截面图是解答本题的关键.2.球的体积和表面积有着非常重要的应用.在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算.再练一题2.圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？【解】设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为V球2，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V52h，所以52h，所以h(cm)，即若取出这两个小球，则容器的水面将下降 cm.探究共研型与球有关的切、接问题探究1一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少？【提示】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求的比为13.探究2长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是多少？【提示】设长方体的体对角线长为l，球半径为R，则所以R，所以S球4R250.在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.【精彩点拨】解答本题关键是找到球的半径与正方体的棱长间的关系，可通过正方体的对角面，也可将半球补成球，将其转化为球的内接长方体问题，找到球的半径与正方体棱长的关系后，再利用体积公式计算，进而作比即可.【自主解答】法一：作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CCa，OC，在RtCCO中，由勾股定理，得CC2OC2OC2，即a2R2，所以Ra.从而V半球R3a3，V正方体a3.因此V半球V正方体a3a32.法二：将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a，球的半径为R，则根据长方体的对角线性质，得(2R)2a2a2(2a)2，即4R26a2，所以Ra.从而V半球R3a3，V正方体a3.因此V半球V正方体a3a32.解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系.再练一题3.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.a2B.a2C.a2D.5a2【解析】正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得Ra，S4R24a2.【答案】B1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于()A. B.1C.2 D.3【解析】由题设球半径为r，则4r2r3，可得r3，故选D.【答案】D2.表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64的球相切，则这个多面体的体积为()A.Q B.Q C.Q D.2Q【解析】4R264R4，VQRQ，故选C.【答案】C3.已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_.【解析】设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AHHB12，所以OHR.由勾股定理，有R2r2OH2，又由题意得r2，则r1，故R21，即R2.由球的表面积公式，得S4R2.【答案】4.已知正四棱锥O ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_. 【导学号：39292056】【解析】过O作底面ABCD的垂线段OE，则E为正方形ABCD的中心.由题意可知()2OE，所以OE，故球的半径ROA，则球的表面积S4R224.【答案】245.某几何体的三视图如图1731所示(单位：m)：图1731(1)求该几何体的表面积(结果保留)；(2)求该几何体的体积(结果保留).【解】由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体.(1)该几何体的表面积为S2R2622R224(m2).(2)该几何体的体积为VR3238(m3).6