第16课时 利用导数判断函数的单调性(限时：10分钟)1函数yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能是()解析：由函数yf(x)的图象可知，在区间(，0)和(0，)上，函数f(x)均为减函数，故在区间(，0)和(0，)上，f(x)均小于0，故选D.答案：D2yxlnx在(0,5)上是()A单调增函数B单调减函数C在上单调递减，在上单调递增D在上单调递增，在上单调递减解析：yxlnx1lnx，令y0可得x，令y0可得0x.故选C.答案：C3函数yx2lnx的单调递减区间为()A(1,1B(0,1C1，) D(0，)解析：对函数yx2lnx求导，得yx(x0)，令解得x(0,1因此函数yx2lnx的单调递减区间为(0,1，故选B.答案：B4若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是_解析：由f(x)x3x2mx1在R上单调，又f(x)3x22xm，则f(x)在R上只能单调递增412m0，m.答案：m5已知函数f(x)x2(x0，常数aR)若函数f(x)在x2，)上是单调递增的，求a的取值范围解析：f(x)2x.要使f(x)在2，)上是单调递增的，则f(x)0在x2，)时恒成立，即0在x2，)时恒成立x20，2x3a0，即a2x3在x2，)上恒成立a(2x3)min.x2，)，y2x3是单调递增的，(2x3)min16，a16.当a16时，f(x)0(x2，)有且只有f(2)0，a的取值范围是a|a16(限时：30分钟)1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2)B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：f(x)exex(x3)ex(x2)，令f(x)0，得x20，x2，f(x)的递增区间是(2，)答案：D2已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象如右图所示，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()ABCD解析：由图象可获得如下信息：(1)函数yf(x)与yg(x)两个函数在xx0处的导数相同，故两函数在xx0处的切线平行或重合(2)通过导数的正负及大小可以知道函数yf(x)和yg(x)为增函数且yf(x)增长的越来越慢，而yg(x)增长的越来越快答案：D3下列函数中，在(0，)内为增函数的是()Aysinx ByxexCyx3x Dylnxx解析：B中，y(xex)exxexex(x1)0在(0，)上恒成立，yxex在(0，)上为增函数对于A，C，D都存在x0，使y0的情况答案：B4已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且当x0时，有f(x)0，g(x)0，则当x0时，有()Af(x)0，g(x)0Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0，g(x)0Df(x)0，g(x)0解析：由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数x0时，f(x)0，g(x)0，f(x)，g(x)在(0，)上递增x0时，f(x)递增，g(x)递减x0时，f(x)0，g(x)0.答案：B5若函数ya(x3x)的单调减区间为，则a的取值范围是()Aa0 B1a0Ca1 D0a1解析：ya(3x21)3a.当x时，0，要使ya(x3x)在上单调递减，只需y0，即a0.答案：A6函数f(x)的单调增区间为_解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x).令f(x)0，则1lnx0，lnx1，得0xe，即函数f(x)的单调增区间为(0，e)答案：(0，e)7若函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为(1,3)，则b_，c_.解析：f(x)3x22bxc，由条件知即解得b3，c9.答案：398已知函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为_解析：设g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)2.对任意xR，f(x)2，g(x)0.g(x)在R上为增函数又g(1)f(1)240，x1时，g(x)0.由f(x)2x4，得x1.答案：(1，)9已知f(x)lnxax(aR)，求f(x)在2，)上是单调函数时a的取值范围解析：f(x)a.当a0时，f(x)在x2，)上，f(x)0，f(x)在2，)上是单调函数，符合题意当a0时，令g(x)ax2x1，则f(x)在2，)上只能单调递减，f(x)0在2，)上恒成立，g(x)0在2，)上恒成立又g(x)ax2x1a21的对称轴为x0，10，a.当a0时，f(x)在2，)上只能递增，f(x)0在2，)上恒成立g(x)0在2，)上恒成立又g(x)ax2x1，对称轴为x0，g(2)0，a.又a0，a0.综上所述，实数a的取值范围为0，)10已知函数f(x)x3ax1.(1)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由(2)证明：f(x)x3ax1的图象不可能总在直线ya的上方解析：(1)3x2a0在(1,1)上恒成立，a3x2.但当x(1,1)时，03x23，a3，即当a3时，f(x)在(1,1)上单调递减(2)证明：取x1，得f(1)a2a，即存在点(1，a2)在f(x)x3ax1的图象上，且在直线ya的下方即f(x)的图象不可能总在直线ya的上方11已知x0，证明不等式ln(1x)xx2成立证明：设f(x)ln(1x)xx2，其定义域为(1，)，则f(x)1x.当x1时，f(x)0，则f(x)在(1，)内是增函数当x0时，f(x)f(0)0.当x0时，不等式ln(1x)xx2成立- 6 -