第三章 数系的扩充与复数的引入章末质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数zii2i3i4的值是()A1B0C1Di解析：zii2i3i4i1i10.答案：B2i是虚数单位，复数在复平面上的对应点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：i，对应点为，位于第四象限答案：D3i是虚数单位，则的虚部是()A.i Bi C. D解析：i，故选C.答案：C4已知i为虚数单位，则复数i(1i)的模等于()A. B. C. D2解析：|i(1i)|1i|.答案：C5复数2的共轭复数是()A34i B34iC34i D34i解析：234i，所以2的共轭复数为34i.答案：A6已知下列命题：复数abi不是实数；若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数x2；若复数zabi，则当且仅当b0时，z为虚数其中正确的命题有()A0个 B1个 C2个 D3个解析：根据复数的有关概念判断命题的真假：是假命题，因为当aR且b0时，abi是实数；是假命题，因为由纯虚数的条件得解得x2，当x2时，对应的复数为实数；是假命题，因为没强调a，bR.答案：A7如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，则b等于()A. B. C D2解析：i，据题意有，解得b.答案：C8设复数z11i，z2i，其中i为虚数单位，则的虚部为()A.i B.C.i D.解析：i，虚部为.答案：D9已知复数z满足(12i3)z12i，则z等于()Ai B.iCi D.i解析：zi.答案：A10已知i为虚数单位，a为实数，复数z(a2i)(1i)在复平面内对应的点为M，则“a1”是“点M在第四象限”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：z(a2i)(1i)(a2)(a2)i，则点M的坐标为(a2，a2)，当a1时，坐标为(3，1)，即点M在第四象限，若点M在第四象限，而a1却不一定成立，故“a1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件答案：A11若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 B C4 D.解析：设zabi(a，bR)，则(34i)z(34i)(abi)5，化简得3a4b(3b4a)i5，所以解得即zi，所以z的虚部为.答案：D12若zcosisin(i为虚数单位)，则使z21的一个值是()A0 B. C D2解析：因为z2(cosisin)2cos2isin2，又z21，所以再由选择项验证得.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知复数z1i，则z_.解析：z1i1i2i.答案：2i14若复数z12i(i为虚数单位)，则zz_.解析：因为z12i，所以z|z|25，所以zz62i.答案：62i15i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z123i，则z2_.解析：根据复数的几何意义，z123i与z223i对应的点关于原点对称答案：23i16设z2z1i(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是1，则z2的虚部为_解析：设z1abi(a，bR)，则z2(abi)i(abi)(abi)(bai)(ab)(ba)i，因为z2的实部是1，所以ab1，所以虚部ba1.答案：1三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是3i，向量对应的复数是24i，向量对应的复数是4i，求B点对应的复数解析：因为向量对应的复数是24i，向量对应的复数是4i，所以表示的复数是(4i)(24i)23i，故对应的复数为(3i)(23i)52i，所以B点对应的复数为52i.18(本小题满分12分)已知虚数z满足|z|1，z22z0，求z.解析：设zxyi(x，yR且y0)，所以x2y21，则z22z(xyi)22(xyi)(x2y23x)y(2x1)i.因为z22z0且y0，所以又x2y21，解得故zi.19(本小题满分12分)设复数z1i，且1i，求实数a，b的值解析：因为z1i，所以z2azb(a2)iab，z2z1i，所以(a2)(ab)i.又1i，所以解得20(本小题满分12分)已知复数z(2xa)(2xa)i，x，aR，且a为常数，试求|z|的最小值g(a)的表达式解析：|z|2(2xa)2(2xa)222x22x2a(2x2x)2a2，令t2x2x，则t2，且22x22xt22，从而|z|2t22at2a22(ta)2a22.当a2，即a2时，g(a)；当a2，即a2时，g(a)|a1|.综上可知，g(a)21(本小题满分12分)设复数z1(a24sin2)(12cos)i，aR，(0，)，z2在复平面内对应的点在第一象限，且z34i，(1)求z2及|z2|.(2)若z1z2，求与a的值解析：(1)设z2mni(m，nR)，则z(mni)2m2n22mni34i，即解得或所以z212i，或z212i.又因为z2在复平面内对应的点在第一象限，所以z212i应舍去，故z212i，|z2|.(2)由(1)知(a24sin2)(12cos)i12i，即解得cos，因为(0，)，所以，所以a214sin2144，a2.综上，a2.22(本小题满分12分)设z1是虚数，z2z1是实数，且1z21.(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围(2)若，求证：为纯虚数解析：(1)设z1abi(a，bR且b0)，则z2z1abii.因为z2是实数，b0，于是有a2b21，即|z1|1，还可得z22a.由1z21，得12a1，解得a，即z1的实部的取值范围是.(2)i.因为a，b0，所以为纯虚数4