第二章 解三角形测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=60,a=1,b=2,则sin A=()A.B.C.D.解析:由正弦定理得,所以sin A=.故选C.答案:C2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2=ac,则角B的值为()A.B.C.D.解析:因为a2+c2-b2=ac,所以由余弦定理得,cos B=,所以B=.答案:A3.在ABC中,已知a=11,b=20,A=130,则此三角形()A.无解B.只有一解C.有两解D.解的个数不确定解析:由A=130,而a0,由余弦定理得cos C=-0,所以C为钝角,所以ABC为钝角三角形.答案:C7.在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=.则SABC=()A.B.C.D.2解析:因为A,B,C成等差数列,所以A+C=2B.又A+B+C=180,所以B=60.又a=1,b=,由得sin A=.因为abB.abC.a=bD.a与b的大小关系不能确定解析:由余弦定理,得2a2=a2+b2-2abcos 120,所以b2+ab-a2=0,即-1=0,1,故ba,选A.答案:A10.已知ABC的内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,且,则cos B的值为()A.B.C.-D.-解析:因为,所以由正弦定理,得sin B=sin ,所以2sin cos =sin ,因为sin 0,所以cos ,所以cos B=2cos2-1=2-1=-,故选C.答案:C11.如图,已知在ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为()A.B.C.D.解析:设AB=c,则AD=c,BD=,BC=.在ABD中,由余弦定理,得cos A=,所以sin A=.在ABC中,由正弦定理,得,解得sin C=,故选D.答案:D12.导学号33194051在ABC中,内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,已知a=c,且满足cos C+(cos BAC-sin BAC)cos ABC=0,若点O是ABC外一点,且OA=2OB=4,设AOB=(0),则四边形OACB面积的最大值是()A.8+5B.5+4C.12D.4+5解析:在OAB中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2-2OAOBcos AOB=42+22-242cos =20-16cos .在ABC中,因为cos C+(cos BAC-sin BAC)cos ABC=-cos (BAC+ABC)+cos BACcos ABC-sin BACcos ABC=sin BACsin ABC-sin BACcos ABC=sin BAC(sin ABC-cos ABC)=0,且sin BAC0,所以sin ABC-cos ABC=0,即tan ABC=,所以ABC=,又a=c,所以ABC是等边三角形,所以S四边形OACB=SOAB+SABC=42sin +(20-16cos )=4sin +5-4cos =8sin+5.因为0,所以-0,cos B0,cos C0,即0,0,0.将a=2,b=3代入,解得c.答案:().16.在ABC中,已知a,b,c分别为角A,B,C所对的边,S为ABC的面积.若向量p=(4,a2+b2-c2),q=(,S)满足pq,则C=.解析:由pq,得4S=(a2+b2-c2),则S=(a2+b2-c2).由余弦定理得cos C=,所以S=2abcos C=abcos C.又由面积公式得S=absin C,所以abcos C=absin C,所以tan C=.又C(0,),所以C=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.导学号33194052(本小题满分10分)在ABC中,C=2A,a+c=20,sin A=,求b的值.解因为0C,C=2A,所以0Ab,a=5,c=6,sin B=.(1)求b和sin A的值;(2)求sin的值.解(1)在ABC中,因为ab,故由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=.由正弦定理,得sin A=.所以,b的值为,sin A的值为.(2)由(1)及ac,得cos A=,所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=-.故sin=sin 2Acos+cos 2Asin.19.(本小题满分12分)如图,在ABC中,AB=12,AC=3,BC=5,点D在边BC上,且ADC=60.(1)求cos C的值;(2)求线段AD的长.解(1)在ABC中,由余弦定理得cos C=.(2)由题意知0C0,所以sin C=,在ADC中,根据正弦定理得,所以AD=8.20.导学号33194053(本小题满分12分)(2017全国1高考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.解(1)由题设得acsin B=,即csin B=.由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由题设得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故ABC的周长为3+.21.(本小题满分12分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于点A北偏东45,点B北偏西60的点D有一艘轮船发出求救信号,位于点B南偏西60,且与点B相距20海里的点C的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达点D需要多长时间?解由题意,知AB=5(3+)海里,DBA=90-60=30,DAB=90-45=45,所以ADB=180-(45+30)=105.在ADB中,由正弦定理,得,所以DB=10(海里).在CDB中,BC=20海里,BD=10海里,DBC=60.由余弦定理,得DC2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC=(10)2+(20)2-21020cos 60=900.所以DC=30海里.故救援船到达点D需要的时间为=1(时).22.导学号33194054(本小题满分12分)(2016四川高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.(1)证明:sin Asin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.(1)证明根据正弦定理,可设=k(k0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入中,有,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)解由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A=,所以si