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函数的单调性和值域1 函数单调性的定义一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,,当时,都有f()f(),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,,当(),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数;如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。2.函数单调性的证明方法,通常用两种方法证明:定义法 导数法(1)利用定义法证明函数单调性的一般步骤是:取值 作差(有时也可作商)变形定号 作出结论判断.用定义法证明函数的单调性时,要比较f()与f()的大小,最常用的方法是作差(或作商)比较法。(2)用导数法证明函数单调性的理论为:若函数y=f(x)在某区间内可导,且满足0,则f(x)在该区间上单调递增;若满足0,则af(x)为增函数,若a0,则af(x)为减函数.(3)互为反函数的两个函数具有相同的单调性(4)利用复合函数的“同增异减”原则,若f(x)与g(x)的单调性相同,则复合函数y=fg(x)是增函数;若f(x)与g(x)的单调性相反,则复合函数y=g(x)是减函数。(简称同增异减)例如:函数f(x)=在其定义域内为增函数;f(x)=函数在其定义域内是减函数。函数f(x)=在定义域(,+)内为增函数,在定义域(-, )内是减函数5.函数的值域和最值(1)函数的值域(见函数的概念一节)(2)函数的最值函数最大值的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,若存在实数M满足:对任意的xI,都有f(x)M;存在I,使得f()=M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。函数最小值的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,若存在实数M满足:对任意的xI,都有f(x)M;存在I,使得f()=M。那么,称M是函数y=f(x)的最小值。注意:函数最大(小)值首先应该是某一个函数值,即存在I,使得f()=M;函数最大(小)值应该所有函数值中最大(或最小)的,即对于任意的xI,都有f(x) M(或f(x)M)。6.求函数值域和最值的常用的方法(1)配方法(适用于一元二次函数型)例如,求下列函数的值域y=-2+5x+6 y=2x3 (0x3) y=3cosx+3( (-, -4,0 0,6 ) (2)换元法:一元二次函数型或三角代换。通过换元,将函数化为易求值域的函数形式(注意换元后变量的取值范围,以保证变形是恒等的)。例如,求下列函数的值域y=x- y=sinx+cosx+sinxcosx y=x-2+解:设=t, 易知t0,+),且x=, 则原函数可化为:y=其中t0,+),当x=0时,有最大值=, 即y. 故所求函数的值域为(-,设sinx+cosx=t,t-,则原函数可化为:y=t+(其中t-,)以下略设x=2cost,t0,则原函数可化为:y=2(cost+sinxt)-2,(其中t0,)以下略( (-, 1,) -4,-2 )(3)利用函数单调性求值域例如,求下列函数的值域y=+ y=- y=x- y= (1x3) y=+lnx (00) y= (x0)解:x0,x+2=2,当且仅当x=时,即x=1时,等号成立.所以函数的值域为2,+) 当x=0时,y=0,当x0时,y=,x0, x+2=4,当且仅当x=2时,等号成立.所以函数的值域为y0,4注意:用均值不等式:若a,b,则a+b2求函数的最值时要“一正,二定,三等号成立”(5)利用导数求函数的值域。(其实质上是利用函数的单调性求值域)例如:求函数y=2+2的值域解:=2x(41),故原函数在区间(-1,-),(-,0) ,(0,),(,2)的单调性分别为:递减,递增,递减,递增。进而可得原函数的值域为:,30*(6)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可利用基本函数的值域求得例如:求函数y=的值域 解:函数的定义域为(-1,3),令u= x(-1,3) 易求得:0u4因为函数y=为增函数,所以原函数的值域为:(,2 (此题还有其他解法)(7)分离常数法(常用来解决“分式型”函数的值域)例如:求函数y=的值域解:y=3+ 0,3+3, 函数y=的值域为yRy3(8)最值法:对于区间上的连续函数,利用求函数最大值和最小值来求函数的值域。例如:求函数y=2sinx1的值域。解:-1sinx1 -32sinx11 所以原函数的值域为-3,1(9)判别式法:实质是方程思想,通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。例如:求函数的值域。解:由得y2(y+1)x+2y1=0,由y=0得-2x-1=0,则x=-,0是函数值域中的一个值.当y0时,由= 4y(2y1)0得: y,故函数的值域为,(10)图象法:如果函数的图象较易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域(求某些分段函数的值域常用此法)例如:求函数y=x-3-x+1的值域 (-4,4)此外还有观察法等7.给定函数的值域或最值,求函数中参数的取值范围例如:(1)设函数f(x)=2x+2a,当x-2,2时,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围。解法一,分离系数法;由f(x)0,得2x+2a0,即2a-+2x,设g(x)=-+2x=+1, x-2,2g(x)在-2,2的最小值为g(2)=8, 2a8, a4 所以实数a的取值范围为: (,4解法二:f(x)= 2x+2a=+2a1, f(x)在x-2,2上值域为2a-1,2a+8, 要使f(x)0, x-2,2恒成立,只须2a+80,所以 a-4, 所以实数a的取值范围为: (,4(2).设f(x)= +ax+3,当x-2,2时, f(x)0恒成立,求实数的取范围。 ( 7,2)*(3).函数y=lg(+2x+m)的值是R,则实数m的取值范围是_ (,18.利用函数的单调性求函数中参数的取值范围例如:已知函数f(x)= 6ax+1在2,+)上为增函数,则实数a的取值范围为_解:f(x)= 6ax+1= +19, 因为函数f(x)在2,+)上为增函数,所以由3a2,得 a 所以实数a的取值范围(,若函数y=f(x)在其定义D内,恒有f(x)a成立,求实数a的取值范围,就是求f(x)的最小值;若函数y=f(x)在其定义D内,恒有f(x)a成立,求实数a的取值范围,就是求f(x)的最大值。9.例题例1 证明函数f(x)=x+ 在x(0,2)上是减函数解;(定义法)设02,则f()-f()=()-()= 00, 从而函数f(x)在x(0,2)上为减函数。 (此题也可用导数求解)例2证明函数f(x)= (a0)在(-1,1)上是增函数例3已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且f(1)=1,若a,b-1,1,a+b0时,有,判断函数f(x)在-1,1上是增函数还是减函数,并证明你的结论。解:任取,-1,1,且,则-1,1,又f(x)是奇函数,于是=,据已知 0 0时,f(x)1,且对任意的a,bR,有f(a+b)=f(a)f(b)(1)求证:f(0)=1(2)求证:对任意的x恒有f(x)0(3)求证:f(x)是R上的增函数(4)若f(x)f(2x-)1,求x的取值范围(1)证明:令a=b=0,则f(0)=,又f(0)0,f(0)=1(2)证明:当x0,f(0)=f(x)f(-x)=1,f(-x)=, 又x0时f(x)0,xR时,恒有f(x)0.(3)证明:设,则,=, 又,., f(x)是R上的增函数.(4)解:由f(x)f(2x-)1,f(0)=1,得f(3x-)f(0),又f(x)是R上的增函
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