考点21 线线、线面、面面的位置关系【考点剖析】1.最新考试说明：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定. 2. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定. 3.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理能证明一些空间位置关系的简单命题. 2.命题方向预测：1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点以考查点、线、面的位置关系为主.2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点着重考查垂直关系的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力4.线线、线面、面面的位置关系问题，往往是平行、垂直关系综合考查，题型有选择题、填空题及解答题难度中、低档题兼有.3.课本结论总结：1.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角).范围：.3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行.6.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.7.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab8.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba9.直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法.利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.垂直于同一个平面的两条直线平行.垂直于同一条直线的两平面平行.10.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.11.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法.利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.12.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.4.名师二级结论：（1）异面直线的判定方法： 判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面(2)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(3)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法(4)公理3的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线(5)平行问题的转化关系：(6)垂直问题的转化关系线线垂直线面垂直面面垂直性质(7)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；(8)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.5.课本经典习题：（1）必修2第37页用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a，b，则ab. 其中真命题的序号是()A B C D【经典理由】考查线面、线线的平行和垂直关系。（2） 必修2第42页已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()Amn，mnB，m，nmnCm，mnnDm，n，m，n【经典理由】考查线面、线线、面面的平行和垂直关系。6.考点交汇展示：(1)立体几何与函数交汇【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_.【答案】【解析】(2) 立体几何与基本不等式交汇如图， 在三棱锥中，（1）求证：平面平面；（2）若，当三棱锥的体积最大时，求的长PABC【答案】（1）证明见解析；（2）当三棱锥的体积最大时， （2）方法1：由已知及（1）所证可知，平面，所以是三棱锥的高7分因为，设，8分所以9分因为 10分 11分12分当且仅当，即时等号成立13分所以当三棱锥的体积最大时，14分（3）立体几何与三角函数交汇【2018届江苏省南宁市高三摸底联考】在如图所示的正方体中，分别棱是的中点，异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【考点分类】热点1 线线、线面、面面平行与垂直关系的判定1.【2017课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若，那么，很显然不成立；B.若，那么，显然不成立；C.若，那么，成立，反过来时，也能推出,所以C成立，D.若，则，显然不成立，故选C.2.【2016高考新课标2理数】 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）【答案】【方法规律】1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直. 线面平行的证明思考途径：线线平行线面平行面面平行.3.面面平行的证明方法：反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；面面平行的判断定理；利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；向量法：证明两个平面的法向量平行.4.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.5.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直线面垂直面面垂直.6.面面垂直的证明方法：定义法；面面垂直的判断定理；向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.【解题技巧】1.利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.2.立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.3.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.4.线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.5.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.6.垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.7.线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；8.线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；【易错点睛】1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.5.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.6.证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.例.已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是A，且 B，且