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直线与圆的位置关系之 切线长定理,蓬莱大辛店中学 徐岩,.,O,A,L,切线的性质定理:,圆的切线垂直于过切点的半径,几何应用:,L是O的切线 , OAL,经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.,几何应用:,2.与半径垂直,1.经过半径的外端;,切线的判定定理:,C,练习1:已知:AB是弦,AD是切线,判断DAC与圆周ABC之间的关系并证明.,在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长,O,P,A,B,切线与切线长的区别与联系:,(1)切线是一条与圆相切的直线,不可以度量;,(2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长,可以度量。,切线长概念,若从O外的一点引两条切线PA,PB,切点分别是A、B,连结OA、OB、OP,你能发现什么结论?并证明你所发现的结论。,PA = PB,OPA=OPB,证明:PA,PB与O相切,点A,B是切点 OAPA,OBPB 即OAP=OBP=90 OA=OB,OP=OP RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA=OPB,试用文字语言叙述你所发现的结论,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,切线长定理,几何语言:,反思:切线长定理为证明线段相等、角相等提 供了新的方法,我们学过的切线,常有 五个 性质: 1、切线和圆只有一个公共点; 2、切线和圆心的距离等于圆的半径; 3、切线垂直于过切点的半径; 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点; 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,六个,A,P,O,。,B,若连结两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.,OP垂直平分AB,证明:PA,PB是O的切线,点A,B是切点 PA = PB OPA=OPB PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB,A,P,O,。,B,若延长PO交O于点C,连结CA、CB,你又能得出什么新的结论?并给出证明.,CA=CB,证明:PA,PB是O的切线,点A,B是切点 PA = PB OPA=OPB PC=PC PCA PCB AC=BC,C,例.PA、PB是O的两条切线,A、B为切点,直线OP交于O于点D、E,交AB于C。,B,A,P,O,C,E,D,(1)写出图中所有的垂直关系,OAPA,OB PB,AB OP,(3)写出图中所有的全等三角形,AOP BOP, AOC BOC, ACP BCP,(4)写出图中所有的等腰三角形,ABP AOB,(5)若PA=4、PD=2,求半径OA,(2)写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,。,P,B,A,O,(3)连结圆心和圆外一点,(2)连结两切点,(1)分别连结圆心和切点,反思:在解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形。,1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,小 结:,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB ,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。,2.圆的外切四边形的两组对边的和相等,例:如图, ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=8cm,BC=13cm,CA=12cm,求AF、BD、CE的长。,x,12x,x,12x,8x,8x,例题选讲,例.如图,ABC中,C =90 ,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F,且BD=12,AD=8, 求O的半径r.,例.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B, 并与圆O的切线分别相交于C、D,已知 PA=7cm, (1)求PCD的周长 (2) 如果P=46, 求COD的度数,E,1、如图,ABC中, ABC=50,ACB=75 ,点O 是ABC的内心,求 BOC的度数。,随堂训练,变式:ABC中, A=40,点O是ABC的内心,求 BOC的度数。, BOC= 90+ A,2、ABC的内切圆半径为 r , ABC的周长为 l ,求ABC的面积。(提示:设内心为O,连接OA、OB、OC。),O,A,C,B,r,r,r,知识拓展,若ABC的内切圆半径为 r , 周长为 l , 则SABC= lr,o,o,o,外切圆圆心:三角形三边垂直平分线的交点。 外切圆的半径:交点到三角形任意一个定点的距离。,三角形外接圆,三角形内切圆,内切圆圆心:三角形三个内角平分线的交点。 内切圆的半径:交点到三角形任意一边的垂直距离。,A,B,C,o,明确,1.一个三角形有且只有一个内切圆;,2.一个圆有无数个外切三角形;,3.三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点;,4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。,1、如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆O分别相切于点L、M、N、P, 求证: AD+BC=AB+CD,证明:由切线长定理得,AL=AP,LB=MB,NC=MC, DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即 AB+CD=AD+BC,补充:圆的外切四边形的两组对边的和相等,提高题,2、如图,AB是O的直径, AD、DC、BC是切线,点A、E、B 为切点,若BC=9,AD=4,求OE的长.,B,D,E,F,O,C,A,1、如图,ABC的内切圆的半径为r, ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解:设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF,,则ODAB,OEBC,OFAC.,SABCSAOBSBOC SAOC, ABOD BCOE ACOF, lr,设ABC的三边为a、b、c,面积为S, 则ABC的内切圆的半径 r,结论,有关圆的计算问题,A,B,C,E,D,F,O,如图,RtABC中,C90,BCa,ACb, ABc,O为RtABC的内切圆. 求:RtABC的内切圆的半径 r.,设AD= x , BE= y ,CE r, O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解:设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F,连结OD、OE、OF则OAAC,OEBC,OFAB。,结论,A,B,C,E,D,F,O,如图,RtABC中,C90,BC3,AC4, O为RtABC的内切圆. (1)求RtABC的内切圆的半径 . (2)若移动点O的位置,使O保持与ABC的边AC、BC都相切,求O的半径r的取值范围。,设AD= x , BE= y ,CE r, O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解:(1)设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F,连结OD、OE、OF则OAAC,OEBC,OFAB。,解得,r1,在RtABC中,BC3,AC4, AB5,由已知可得四边形ODCE为正方形,CDCEOD, RtABC的内切圆的半径为1。,(2)如图所示,设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。,A,B,O,D,C,OBBC3,半径r的取值范围为0r3,点评,几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。,基础题:,1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 则此三角形的周长是_. 3.O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切O 于P点,交AB、BC于E、F,则BEF的周长是_.,E,F,H,G,正方形,22cm,2cm,同学们要好好学习老师期盼你们快快进步!,切线长定理 拓展,回顾反思,1.切线长定理,从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,回顾反思,2.三角形的内切圆、内心、内心的性质,知识拓展,拓展一:直角三角形的外接圆与内切圆,1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在_,半径为_.,2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在_,半径r=_.,a,b,c,斜边中点,斜边的一半,三角形内部,知识拓展,3.已知:如图,PA、PB是O的切线,切点分别是A、B,Q为O上一点,过Q点作O的切线,交PA、PB于E、F点,已知PA=12cm,P=70,求:PEF的周长和EOF的大小。,知识拓展,4.RtABC中,C=90,a=3,b=4,则内切圆的半径是_.,1,5.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.,22cm,知识小结,直角三角形的外接圆与内切圆,1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在_,半径为_.,2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在_,半径r=_.,a,b,c,斜边中点,斜边的一半,三角形内部,课前训练,1、已知,如图,PA、PB是O的两条切线,A、B为切点.直线 OP 交 O 于点 D、E,交 AB 于 C. (1)写出图中所有的垂直关系; (2)如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长.,知识拓展,2.已知:两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线,PC、PD是小圆的两条切线,A、B、C、D为切点。求证:AC=BD,
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